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Sottospazio vettoriale dei tensori completamente simmetrici

mercoledì, Marzo 18th, 2020

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Fig. 1

Assegnato uno spazio vettoriale En e preso ad arbitrio un intero naturale r, consideriamo lo spazio prodotto tensoriale


e quindi, il suo sottoinsieme

i cui elementi sono i tensori r-covarianti completamente simmetrici. Mostriamo che si tratta di un sottospazio vettoriale di En*(r). Infatti:

La chiusura di Sn*(r) rispetto alle leggi di composizione di addizione di moltiplicazione per uno scalare, implica che tale insieme è un sottospazio vettoriale di En*(r). Ovviamente siamo interessati alla dimensione di tale spazio. Intanto osserviamo che


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[¯|¯] Quando la somma non è una somma diretta

sabato, Luglio 1st, 2017

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Esercizio
Nello spazio vettoriale R³ si considerino i seguenti sottospazi:

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dove
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Determinare una base della somma e dell'intersezione dei predetti sottospazi.

Soluzione
Il sistema di vettori Σ1 è linearmente indipendente, per cui è una base di V1 => dim(V1)=2 Allo stesso modo dim(V2)=2, giacché Σ2 è linearmente indipendente. Riesce

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D'altra parte

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è lineramente dipendente, giacché

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Per determinare una base della somma V1+V2 procediamo per trasformazioni elementari

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