Sistemi passivi. Funzioni non lineari senza memoria

lunedì, Agosto 3rd, 2020

La teoria della passività fornisce utili strumenti nello studio dei sistemi nonlineari legando la teoria di Lyapunov e la stabilità L₂. Il principale risultato di questa teoria è il teorema che afferma che la connessione in retroazione di due sistemi passivi è a sua volta passiva. Questa è una importante generalizzazione del fatto che una connessione in retroazione di due sistemi lineari stabili è ancora stabile se il guadagno di anello è minore di uno, o la fase complessiva minore di 180 gradi.

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Si consideri una funzione nonlineare scalare senza memoria y=φ(u) dove φ:R->R rappresenta il legame ingresso uscita di un sistema statico. Si può definire il prodotto fra l'ingresso e l'uscita come la potenza assorbita dal sistema. Si può pensare, come esempio, ad un resistore in cui l'ingresso sia la corrente iniettata i e l'uscita la tensione v=Ri che si stabilisce ai suoi capi. Il prodotto ingresso-uscita è la potenza assorbita dal resistore: v·i=Ri². Se il prodotto ingresso-uscita è positivo, come nel caso del resistore, il sistema si dice essere passivo.

Si può fornire una interpretazione geometrica alla proprietà di passività: la curva che rappresenta la funzione φ deve essere nel I e III quadrante; ad esempio la nonlinearità rappresentata in Figura 1 è passiva. Si può dire, quindi, che una funzione φ è passiva, se

Può essere interessante estendere il concetto di passività a sistemi multiporte, y=φ(u) dove φ:R^p -> R^p. In questo caso, considerando il prodotto scalare u^Ty, la funzione si dice passiva se u^Ty >= 0.

Nel caso in cui il prodotto u^Ty=0 il sistema si dice senza perdite. Un esempio di sistema senza perdite è il trasformatore ideale in cui, dette rispettivamente v₁=u₁ e i₁=y₁ la tensione e la corrente al primario e v₂=u₂ e i₂=y₂ la tensione e la corrente al secondario si ha (applicando la convenzione dell'utilizzatore ad entrambe le porte): v₁i₁+v₂i₂=0 o, equivalentemente u^Ty=0.

Se u^Ty > 0 per ogni u non nullo la funzione si dice input strictly passive, perchè la passività è stretta nel senso che u^Ty=0 solo se u=0. Nel caso scalare questo implica che la curva non tocca l'asse delle ascisse, ad eccezione dell'origine. In maniera analoga la funzione si definisce output strictly passive se
u^Ty > 0 per ogni y non nullo, ovvero la passività è stretta nel senso che u^Ty=0 solo se y=0 e nel caso scalare questo implica che la curva tocca l'asse delle ordinate esclusivamente nell'origine [1]

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