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[¯|¯] Esempio di curva regolare dotata di rappresentazione parametrica non regolare

venerdì, Febbraio 14th, 2020

curva regolare,rappresentazione parametrica non regolare,riparametrizzazione

Da premettere che alcune nozioni come ad esempio, la riparametrizzazione nella sezione del blog dedicata alla geometria differenziale. Vale comunque la pena spendere qualche parola, tramite un esercizio molto istruttivo. Nello specifico è assegnata una rappresentazione parametrica che ha una singolarità per t=0 (t è il parametro).
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[¯|¯] Riparametrizzazione. Sostituzione di parametro ammissibile. Curva regolare

mercoledì, Marzo 29th, 2017

alt=

Sia data una rappresentazione parametrica di base X:

alt=

Eseguiamo il cambio di variabile t->τ, mediante la funzione t=g(τ) definita in un intervallo Y di R.
Definizione
La funzione g(τ) definisce una riparametrizzazione della rappresentazione parametrica assegnata.
Quindi scriviamo
alt=

dove
alt=

Definizione
Una riparametrizzazione t=(τ) è una sostituzione di parametro ammissibile se:
alt=

dove l'apice denota l'operazione di derivazione nella notazione di Lagrange:

alt=


Lemma
Una sostituzione di parametro ammissibile è invertibile.

Dimostrazione

Se g(τ) è una qualunque sostituzione di parametro ammissibile definita nell'intervallo Y, si ha:

alt=

Inoltre, la funzione g(τ) è continua in Y (per definizione). Quindi per un noto teorema di Analisi segue l'asserto.
c.d.d.
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