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[¯|¯] Propagazione di un raggio di luce in Relatività Speciale

sabato, 28 Dicembre, 2019

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Fig. 1

Sia K(Oxyz) un sistema di riferimento in cui la Terra è in quiete. Siccome il processo di propagazione di un fotone dal Sole verso la Terra è quasi istantaneo nella scala dei tempi definita dal moto della Terra rispetto alle stelle fisse (nel senso newtoniano del termine), possiamo ritenere con buona approssimazione K inerziale


All'istante t=0 (misurato da due ipotetici orologi collocati in T e in S, rispettivamente), un raggio di luce (corpuscolarmente, un fotone) viene emesso da S verso T a velocità c (velocità della luce nel vuoto). Ne consegue che T "vedrà" tale lampo di luce quando il suo orologio (ma anche quello di S) marcherà il tempo

Studiamo ora la propagazione del medesimo raggio di luce nello spaziotempo della Relatività Speciale (o Relatività Ristretta). Incorporando le cooordinate spaziali (x,y,z) in un'unica coordinata radiale r=(x²+y²+z²)^(1/2) ovvero passando alle coordinate sferiche nello spazio euclideo tridimensionale, e non tenendo conto delle coordinate angolari in virtù dell'isotropia della propagazione luminosa nello spazio vuoto, abbiamo uno spaziotempo bidimensionale (fig. 1).
Nell'istante t=0 il fotone (quindi, il Sole) è nell'altrove assoluto dello spaziotempo, e raggiungerà la Terra T nell'istante in cui il Sole "entra" (in termini spaziotemporali) nel cono-luce di T (precisamente, nella falda superiore denominata futuro assoluto di T). Per quanto precede, lo spaziotempo è (si noti la consuetudine di invertire la posizione delle coordinate nella coppia ordinata):


La metrica è pseudoeuclidea. Più precisamente, la lunghezza dell'ipotenusa del triangolo rettangolo OSP1 è


In altri termini, l'intervallo spaziotemporale tra gli eventi O(0,0),P1(ct1,R), è nulla. La retta per O e P1, cioè la bisettrice del primo e terzo quadrante, è la linea di universo di particelle che si muovono alla velocità della luce (per la Relatività Speciale tali particelle hanno massa a riposo nulla. E tra queste rientra, appunto, il fotone). In fig. 1 la retta per S e P1 è la linea di universo del Sole (fermo rispetto a K, per cui tale retta è parallela all'asse temporale).
Infine, consideriamo altre due coppie di eventi:


come in figura


Il segmento OP2 è la linea di universo di una particella che compie un moto uniforme con velocità v < c. Il corrispondente intervallo spaziotemporale è tale che

Il segmento OP3 è la linea di universo di una particella che compie un moto uniforme con velocità v > c (moto superluminale). Il corrispondente intervallo spaziotemporale è immaginario




[¯|¯] Cavalcando un raggio di luce

giovedì, 26 Dicembre, 2019

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Fig. 1

Ieri nella pagina facebook Problem solving Maths Physics è magicamente apparso un post davvero intrigante (fig. 1). Il risultato nullo della lunghezza dell'ipotenusa è corretto, a patto di assumere una metrica pseudoeuclidea. Più precisamente, da un punto di vista fisico, possiamo considerare una particella che compie un moto relativistico lungo una retta che assumiamo come asse x. Ne consegue uno spaziotempo 2-dimensionale V² con l'asse ct (in unità c=1) disposto come nella predetta figura. Come è noto dalla Relatività Ristretta, la metrica di tale spaziotempo è definita dal seguente tensore covariante di rango 2:


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