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[¯|¯] Generalizzazione dell'equazione di Thomas-Fermi. Il metodo di Majorana

martedì, 18 Febbraio, 2020

equazione di Thomas-Fermi, majorana,rappresentazione parametrica

Correggiamo alcune imperfezioni del post precedente. In particolare, la funzione t(x,y) non può essere definita ad arbitrio. Infatti, una cosa è dire che una curva è dotata di infinite rappresentazione parametriche, un'altra cosa è riferirsi all'insieme infinito di funzioni t(x,y). In altri termini, la funzione di due variabili t(x,y) la possiamo vedere come funzione scalare della variabile vettoriale x=(x,y) tale che la sua inversa x(t) è una funzione vettoriale che definisce una rappresentazione parametrica regolare della curva integrale che risolve l'equazione di Thomas-Fermi con le appropriate condizioni ai limiti. Per inciso, bisognerebbe poi dimostrare esistenza ed unicità delle soluzioni, perché ora stiamo considerando una Thomas-Fermi generalizzata.
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[¯|¯] Funzioni vettoriali di una variabile vettoriale

martedì, 4 Febbraio, 2020

Funzioni vettoriali di una variabile vettoriale,rappresentazione parametrica,superficie,geometria differenziale
Fig. 1

Nelle lezioni precedenti abbiamo introdotto la nozione di rappresentazione parametrica (avente per base un assegnato aperto U di R²) di una superficie S, per poi osservare che quest'ultima è l'immagine di un'applicazione che associa univocamente ad ogni elemento di U, un elemento di S. Ne consegue che la nozione di rappresentazione parametrica "parla" il linguaggio delle funzioni (naturalmente intese come legge di corrispondenza tra due insiemi).
Nello specifico, gli elementi di U sono vettori di un assegnato sottospazio vettoriale dello spazio euclideo bidimensionale (R²) , mentre una qualunque superficie S è un sottoinsieme dello spazio euclideo tridimensionale R³, ma non un suo sottospazio vettoriale. Vediamo, dunque, che nella definizione di rappresentazione parametrica di una superficie, sono coinvolti gli spazi vettoriali (euclidei) R² e R³. Ne consegue che la predetta rappresentazione parametrica altro non è che una legge di corrispondenza tra tali spazi vettoriali. È preferibile comunque, riferirsi a spazi vettoriali (finito-dimensionali) su un qualunque campo K.
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