Il tempo di Planck e gli effetti quanto-gravitazionali

domenica, Luglio 18th, 2021

Let M be a differentiable manifold with metric g_µν such that:

The metric fluctuations due to quantum effects at the spatial scale Δl and at the time scale Δt are

so they are negligible for

What are t_P and l_P? The first quantity is a characteristic time (Planck time), while l_P=ct_P is the Planck length , i.e. the distance traveled by light in time t_P which in cosmology defines the cosmological horizon at Planck's time. We write the time-energy uncertainty relation in the form:

m_P being the Planck mass, i.e. the mass of the universe at time t_P:

It follows

The Planck length

As far as seen, for stairs

quantum-gravitational effects are no longer negligible. There are other characteristic quantities which make it possible to establish a criterion concerning the possibility of neglecting the aforementioned effects. We define Compton time of a particle of mass m, the time interval within which energy conservation violations of the order of mc² are possible:

The Compton length is the distance traveled by the light in t_C
These definitions extend to an extended body C of mass m, redefining the latter in Compton radius of C. Again for an extended body, we define the Schwarzschild radius:

which is the «radius» that C must have in order for

being

the gravitational energy of C. The quantum effects in the gravitational interaction between the various parts of C are negligible if t_C < t_S, where the latter is the Schwarzschild time:

that is, the time it takes for light to pass through the S_S. It is easily obtained

Sia M una varietà differenziabile con metrica g_µν tale che:

Le fluttuazioni della metrica dovute ad effetti quantistici a scala spaziale Δl e a scala temporale Δt sono:

per cui sono trascurabili per

Cosa sono t_P e l_P? La prima grandezza è un tempo caratteristico (tempo di Planck), mentre l_P=ct_P è la lunghezza di Planck, ovvero la distanza percorsa dalla luce nel tempo t_P che in cosmologia definisce l'orizzonte cosmologico al tempo di Planck. Scriviamo la relazione di indeterminazione tempo-energia nella forma:

essendo m_P la massa di Planck, i.e.la massa dell'universo al tempo t_P:

Dai modelli di Friedmann

Segue

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[¯|¯] Dagli spin networks allo spazio euclideo tridimensionale

sabato, Marzo 9th, 2019

spin networks,penrose,quantum gravity — Immagine tratta da **Amazon**.

Nel numero precedente, abbiamo asserito che per n->+oo ci aspettiamo un comportamento classico della rete di spin che darà luogo al concetto di direzione in un 3-spazio euclideo.
Per giustificare tale affermazione sono necessarie alcune premesse basate sulla nozione di spin in meccanica quantistica. Ad esempio, per un sistema di spin 1/2 abbiamo visto che lo spin può assumere solo due valori (±hbar/2). Per essere più precisi, è la componente del vettore S=(S_x,S_y,S_z) secondo uno degli assi coordinati, che può assumere i predetti valori. Senza perdita di generalità, possiamo riferirci all'asse z, per cui si presenta la situazione illustrata in fig.

Si badi che per la relazione di indeterminazione di Heisenberg, non è possibile misurare simultaneamente e con precisione assoluta una qualunque coppia di componenti cartesiane della grandezza vettoriale S. Ne consegue che la fig. precedente non va presa alla lettera, poichè non è possibile definire la grandezza S. È invece possibile misurare simultaneamente le grandezze: