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Intepretazione formale dei punti di equilibrio (dinamica unidimensionale)

lunedì, Novembre 16th, 2020

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Definizione
Dicesi punto di equilibrio del sistema di equazioni differenziali


un punto (ξ0,0) del piano delle fasi, tale che assegnata una condizione iniziale

il predetto sistema ammette l'unica soluzione


Osservazione
La lipchitzianità di F(x) è condizione sufficiente per l'unicità della suddetta soluzione.

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Punti critici e punti di equilibrio. Piano delle fasi

sabato, Novembre 14th, 2020

moti unidimensionali,punti critici,punti di equilibrio,piano delle fasi


Seguendo le orme del Fasano-Marmi, affrontiamo la spinosa questione dei "punti di equilibrio" per il moto di una particella vincolata a muoversi lungo l'asse x (ma i risultati si generalizzano al moto lungo una curva assegnata). Nel caso delle forze posizionali (quindi conservative, dato che siamo in una dimensione), molti concetti come "cuva integrale" e "curva di fase" si particolarizzano restituendo proprietà e teoremi estremamente interessanti. Ciò conduce alla nozione di "punto critico dell'energia" e "punto di equilibrio". Nel caso di un sistema conservativo, condizione necessaria e sufficiente affinché un punto del piano delle fasi sia di equilibrio, è che sia punto critico dell'energia (cioè, zero del gradiente della funzione energia meccanica E(x,y)).
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