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[¯|¯] Invarianza della simmetria di una relazione rispetto all'unione e all'intersezione

venerdì, Luglio 6th, 2018

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Proposizione 1
Ipotesi
Siano ρ12,...,ρN relazioni simmetriche in un assegnato insieme S, tali che
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Tesi
L'insieme

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è il grafico di una relazione simmetrica.

Dimostrazione

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Preso ad arbitrio (x,y) in G(ρ):
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Cioè
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da cui l'asserto.
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[¯|¯] L'unico insieme non vuoto in cui ogni relazione è simmetrica, è il singoletto

giovedì, Luglio 5th, 2018

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Se S={x}, necessariamente

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Ne consegue l'esistenza di una sola relazione:

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da cui

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Il grafico è
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L'asserto segue da una proposizione dimostrata in questa lezione secondo cui condizione necessaria e sufficiente affinche ρ sia simmetrica è che il suo grafico coincida con il simmetrico rispetto alla diagonale del prodotto cartesiano del dominio di definizione.


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