[¯|¯] Matematica e Arte: verso una de-geometrizzazione del Reale

martedì, Novembre 28th, 2017

paradossi percettivi,escher,antonio de nardis,matematica — **Fig. 1**

Nella litografia di Escher (fig. 1) è ben visibile un paradosso percettivo, nel senso che sulla scacchiera i rettili appaiono "schiacciati" in uno spazio 2-dimensionale. Da un punto di vista matematico, possiamo dire che lo spazio fisico come lo presenta Escher è Rⁿ, dove la dimensionalità n è

avendo rappresentato la scacchiera attraverso il prodotto cartesiano dell'intervallo chiuso [0,1] per se stesso (geometricamente tale prodotto rappresenta un quadrato di lunghezza unitaria). Fuori della scacchiera, invece, compare la terza dimensione. In entrambi i casi, la metrica è euclidea:

con il tensore metrico dato da

Escher rappresenta il Reale attraverso enti geometrici ben definiti, introducendo però, una distorsione della percezione: la dimensionalità variabile, giacché sulla scacchiera la terza dimensione è collassata. Il messaggio contenuto in questa litografia è molto forte; in parole povere ci sta dicendo che una geometria con dimensioni fisse non è l'istanza fondamentale del Reale.
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[¯|¯] Paradossi percettivi e topologia

lunedì, Aprile 10th, 2017

Riprendiamo la questione del post precedente circa la non orientabilità di alcuni spazi topologici. Una formica che si muove sulla superficie di una sfera, può muoversi "all'interno" o "all'esterno" della superficie. La superficie di una sfera è, quindi, uno spazio orientabile. L'orientabilità deriva dall'esistenza di un "verso di attraversamento": un insetto dotato di aculeo può attraversare la superficie dall'interno all'esterno o viceversa. In parole povere, il verso di attraversamento è l'analogo del verso di percorrenza di una curva. Tuttavia l'aspetto interessante è che una formica può muoversi solo all'interno o all'esterno (a meno di perforare la superficie). Ciò non accade, invece, per la formica di Möbius che percorre l'omonima superficie:

Se la formica parte da quella parte della superficie di Möbius che volge verso l'interno, a un certo punto del suo cammino si troverà all'esterno (senza perforare il nastro). Ciò perché la superficie di Möbius non è uno spazio orientabile, per cui non ha senso la distinzione interno/esterno.
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