Particella vincolata alla superficie di un paraboloide

mercoledì, Ottobre 27th, 2021

particella, paraboloide,gravità — **Fig. 1**

Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Una particella P scorre, per effetto della gravità, all'interno della superficie di un paraboloide avente asse di rotazione verticale z (fig. 1). Usando la distanza r dall'asse z e l'angolo azimut φ come coordinate generalizzate, determinare:

a) la lagrangiana del sistema;
b) il momento generalizzato e la corrispondente hamiltoniana;
c) l'equazione del moto nella coordinata r come funzione del tempo;
d) se dφ/dt =0, mostrare che la particella può eseguire piccole oscillazioni attorno al punto più basso del paraboloide e trovare le frequenze di tali oscillazioni.

Soluzione

In coordinate cilindriche abbiamo P(r,φ,z) e l'equazione del parabolide in tale sistema di coordinate è z=Ar² dove A è una costante positiva.
Quesito a

La lagrangiana è

Tenendo conto dell'equazione del paraboloide, si ha:

Quindi

Quesito b
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[¯|¯] Un altro esercizio sul Teorema di Stokes

giovedì, Novembre 28th, 2019

teorema di stokes,paraboloide — **Fig. 1**

Esercizio
Assegnato il paraboloide rotondo z=(1/2)(x²+y²), si consideri la superficie (fig. 1) S:z=(1/2)(x²+y²),0=z=2
Verificare il teorema di Stokes per il campo vettoriale u(x,y,z)=3yi-xzj+yz²k
assumendo come pagina positiva di S, quella determinata dal campo dei versori normali n tali che n_z < 0, essendo n_z la componente cartesiana di n secondo l'asse z.

In quest'esercizio anziché fissare il verso positivo su bordo di S cioè su B(S), viene assegnata la pagina positiva (+S) di S. È ovvio che vale sempre la stessa regola: un osservatore spostandosi su B(S) camminando su +S (i.e. con la testa orientata secondo n) lascia i punti interni di S alla sua sinistra. Ne consegue che il verso positivo +B(S) è quello orario.
Dobbiamo ora calcolare n.

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