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Intepretazione formale dei punti di equilibrio (dinamica unidimensionale)

lunedì, Novembre 16th, 2020

punti critici,punti di equilibrio,moto unidimensionale


Definizione
Dicesi punto di equilibrio del sistema di equazioni differenziali


un punto (ξ0,0) del piano delle fasi, tale che assegnata una condizione iniziale

il predetto sistema ammette l'unica soluzione


Osservazione
La lipchitzianità di F(x) è condizione sufficiente per l'unicità della suddetta soluzione.

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Posizioni di equilibrio (meccanica analitica)

giovedì, Novembre 12th, 2020

posizioni di equilibrio,meccanica analitica, fasano-marmi,moto unidimensionale


Ricordiamo che x0=x(t0) è la posizione iniziale della particella. Precisamente, avevamo impostato il problema di Cauchy


Dal momento che

si ha

dove F(x)=-V'(x) è la forza agente sulla particella. Supponiamo che la posizione iniziale x0 sia uno zero di f(x) i.e. f(x0)=0. Quindi l'integrale generalizzato

Se si annulla anche la derivata prima:

cioè è nulla anche la forza. Ne segue che x(t)=x0 è l'unica soluzione del predetto problema di Cauchy. Ciò discende da una nota proprietà delle equazioni differenziali a variabili separabili. Infatti, l'equazione differenziale in istudio equivale a quest'altra


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