[¯|¯] La definizione di spazio metrico

mercoledì, settembre 19th, 2018

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Si definisce spazio metrico un insieme X sul quale è definita una funzione

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denominata distanza o metrica, che gode delle seguenti proprietà:

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La metrica più nota è quella definita su uno spazio vettoriale normato, ossia uno spazio vettoriale dotato di norma ||.||, mediante la formula:

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Se lo spazio vettoriale è Rn e || || è la norma euclidea, la precedente formula diventa:

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e ci fornisce la distanza euclidea tra due punti x e y di Rn ovvero la lunghezza del segmento che li unisce. Questa è indubbiamente la distanza più comune, quella nota a tutti, anche ai non matematici. Ma in matematica esistono infinite metriche, alcune delle quali apparentemente “strambe”. Vediamone qualcuna.
Consideriamo un insieme arbitrario X e poniamo:

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con x,y appartenenti a X. Tale funzione prende il nome di metrica discreta e, anche se può sembrare assurdo (ogni elemento di X dista 1 da tutti gli altri), è effettivamente una distanza. Per dimostrarlo basta dimostrare che d(x, y) soddisfa tutte e quattro le proprietà che definiscono una metrica. Le prime tre si verificano immediatamente; per provare che vale anche la disuguaglianza triangolare, basta considerare i casi possibili:

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[¯|¯] Appunti di Analisi funzionale

domenica, novembre 20th, 2016

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Anche se è incompleto, pubblichiamo ugualmente questo file che può essere trattato alla stregua di un handbook, anche se per ora contiene ben 120 pagine. Si parte dalla definizione di spazio topologico, passando poi per gli spazi con misura (per ora solo quella di Peano - Jordan e non di Lebesgue). Quindi si affronta la questione degli spazi metrici, spazi vettoriali normati con la spinosa questione della completezza, finendo negli read more