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Studio di un integrale generalizzato

venerdì, Novembre 13th, 2020

integrali generalizzati,funzioni integrabili,funzioni sommabili


Sia f(x)=0 una funzione continua in [a,b], derivabile due volte in (a,b) con derivate continue. Se ξ è un punto interno di [a,b] ed è uno zero di f(x), necessariamente è un punto di minimo relativo, con f''(ξ) ≥ 0 (derivata seconda non negativa). Preso ad arbitrio un punto x0 interno ad [a,b], ci proponiamo di studiare il comportamento del seguente integrale generalizzato


il cui estremo superiore di integrazione è un'evidente punto di discontinuità di seconda specie per la funzione integranda. Quest'ultima è comunque integrabile in [x0,xi;] giacché ha ivi segno costante. Per essere più specifici:

Per discutere la sommabilità applichiamo un noto criterio, che consiste nel determinare l'eventuale ordine di infinito dell'integrando nel predetto punto di discontinuità. Si tratta di studiare la seguente operazione di passaggio al limite:


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Decodificando il Fasano-Marmi (Teorema di Analisi Matematica 1)

martedì, Novembre 10th, 2020

fasano marmi,meccanica analitica,integrali generalizzati


Approfondiremo in un post successivo la questione della convergenza dell'integrale in figura (importante per lo studio della dinamica unidimensionale). Per ora riferiamoci al comportamento della funzione integranda. Svincoliamoci da ciò che dicono gli autori del libro, dimostrando un interessante teorema di analisi matematica 1, quale conseguenza del .

Teorema
Ipotesi:

  1. Sia f una funzione non negativa in [a,b], ivi continua e derivabile nei punti interni, i.e. in (a,b).
  2. Sia ξ uno zero di f in (a,b)

Tesi:

  • ξ è punto di minimo relativo per f.
  • Per x->ξ, le funzioni f(x)1/2 e f'(x) sono infinitesimi dello stesso ordine

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