» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Proprietà della relazione di inclusione. Insieme delle parti

giovedì, Giugno 7th, 2018

Nella lezione precedente abbiamo definito l'inclusione di un insieme A in un insieme B:

Comunque prendiamo un insieme A, la relazione di inclusione verifica le seguenti proprietà:

1. Proprietà riflessiva
   
   cioè A è contenuto in sé stesso.
2. Proprietà antisimmetrica
   
3. Proprietà transitiva
   

Insieme delle parti

Definizione
Comunque prendiamo un insieme S, dicesi insieme delle parti di S, l'insieme

cioè l'insieme i cui elementi sono tutti e soli i sottoinsiemi di S.

In altri termini, assegnato un qualunque insieme S, i suoi sottoinsiemi pensati come elementi, costituiscono l'insieme delle parti di S.

Proposizione

Dimostrazione
L'asserto discende da una proprietà esaminata in precedenza, e cioè

per cui P(S) contiene almeno un elemento. Più precisamente

Proposizione

Dimostrazione
Comunque prendiamo S:

Proposizione
Se S è costituito da n elementi distinti, P(S) è costituito da 2ⁿ elementi distinti.

Dimostrazione

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[¯|¯] Esempio di corrispondenza tra insiemi

lunedì, Giugno 4th, 2018

Vediamo un esempio di corrispondenza tra insiemi

Assegnato un piano α dello spazio ordinario, denotiamo con S l'insieme delle rette contenute in α, e una circonferenza di tale piano, quale insieme S' di punti di α equidistanti da un punto assegnato (centro della circonferenza).

Comunque prendiamo una retta r di S, l'insieme dei punti di intersezione di r con S' è un sottoinsieme di S', i.e. un elemento dell'insieme delle parti di S' che solitamente si indica con P(S'). Indichiamo con Xzsub>r l'insieme dei punti in comune tra un'assegnata retta r e la circonferenza S'. Cioè

Nel caso della fig. 1:

Infatti le tre rette r₁,r₂,r₁ sono rispettivamente esterna, secante e tangente alla circonferenza S'. Possiamo, quindi, stabilire una legge che associa a ogni retta di α un insieme di punti di S'. Tale legge è manifestamente una corrispondenza da S verso S':

Per quanto precede:

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