[¯|¯] Scala di infinitesimi di ordine indeterminato

domenica, febbraio 26th, 2017

infiniti non dotati di ordine,infinitesimi ed infiniti di ordine indeterminato,scala di infinitesimi di ordine indeterminato,funzione logaritmo


In questo numero introduciamo la nozione di scala di infinitesimi. Premettiamo il teorema:
Teorema
infiniti non dotati di ordine,infinitesimi ed infiniti di ordine indeterminato,scala di infinitesimi di ordine indeterminato,funzione logaritmo

Dimostrazione

infiniti non dotati di ordine,infinitesimi ed infiniti di ordine indeterminato,scala di infinitesimi di ordine indeterminato,funzione logaritmo

onde l'asserto.
c.d.d.

Consideriamo ora l'insieme i cui elementi sono le funzioni reciproche delle funzioni appartenenti alla scala di infiniti

infiniti non dotati di ordine,infinitesimi ed infiniti di ordine indeterminato,scala di infinitesimi di ordine indeterminato,funzione logaritmo

Per il teorema appena dimostrato si ha che ogni elemento di (1) è un infinitesimo (per x->+oo) di ordine superiore a 1, ma minore di un qualunque & read more




[¯|¯] Scala di infiniti di ordine indeterminato

domenica, febbraio 26th, 2017

infiniti non dotati di ordine,infinitesimi ed infiniti di ordine indeterminato,Scala di infiniti di ordine indeterminato,funzione logaritmo


In questo numero introduciamo la nozione di scala di infiniti.

Per quanto precede, per x->+oo la funzione x*lnx è un infinito di ordine indeterminato. Precisamente, è è un infinito di ordine superiore a 1, ma minore di un qualunque α>1. Consideriamo ora la seguente funzione

infiniti non dotati di ordine,infinitesimi ed infiniti di ordine indeterminato,Scala di infiniti di ordine indeterminato,funzione logaritmo

Risulta
infiniti non dotati di ordine,infinitesimi ed infiniti di ordine indeterminato,Scala di infiniti di ordine indeterminato,funzione logaritmo

Al solito, determiniamo l'ordine di infinito assumendo come infinito di riferimento la funzione v(x)=x. Pertanto

infiniti non dotati di ordine,infinitesimi ed infiniti di ordine indeterminato,Scala di infiniti di ordine indeterminato,funzione logaritmo

Distinguiamo i casi:

  1. 0< α<1
    infiniti non dotati di ordine,infinitesimi ed infiniti di ordine indeterminato,Scala di infiniti di ordine indeterminato,funzione logaritmo

  2. α=1
    infiniti non dotati di ordine,infinitesimi ed infiniti di ordine indeterminato,Scala di infiniti di ordine indeterminato,funzione logaritmo

  3. α>1
    Eseguiamo il cambio di variabile t=ln x, per cui
    infiniti non dotati di ordine,infinitesimi ed infiniti di ordine indeterminato,Scala di infiniti di ordine indeterminato,funzione logaritmo

    Segue
    infiniti non dotati di ordine,infinitesimi ed infiniti di ordine indeterminato,Scala di infiniti di ordine indeterminato,funzione logaritmo

    giacché eλt è un infinito di ordine infinitamente grande.

Ne consegue che x·lnx·lnlnx è un un infinito (per x->+oo) di ordine superiore a 1, ma minore di un qualunque &alp read more