[¯|¯] Infinitesimo di ordine non inferiore [superiore] rispetto ad un altro infinitesimo

mercoledì, Febbraio 22nd, 2017

infinitesimi,infiniti,infinitesimi confrontabili,ordine,infinitesimi non confrontabili — **Fig. 2**

Esempio 1
Siano dati gli infinitesimi (per x->0):

Il rapporto è non regolare
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Passando ai valori assoluti di singolo infinitesimo, constatiamo che nemmeno ora il rapporto è regolare, giacché:

Tuttavia

Ne consegue che f(x)=xsin(1/x) è (in x=0) un infinitesimo di ordine non inferiore a g(x)=x. In fig. 1 riportiamo i grafici di tali funzioni in un intorno di x=0.

Esempio 2
Siano

Si tratta di infinitesimi in x=0. Il primo limite è ben noto:
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Il secondo è meno immediato, ma facilmente dimostrabile applicando il teorema dei carabinieri:
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[¯|¯] Infinitesimi ed infiniti (Lezione 2)

martedì, Febbraio 21st, 2017

Un esempio immediato per ciò che riguarda la confrontabilità di infinitesimi è offerto dalla coppia di limiti fondamentali:

Ne consegue che sin x e x sono (per x->0) infinitesimi dello stesso ordine. Anzi, quando il limite del rapporto è 1, gli infinitesimi si dicono equivalenti:

mentre 1-cos x è un infinitesimo di ordine superiore a x. Tali risultati hanno una notevole interpretazione geometrica che può essere dedotta dall'esame della fig. 1. Dal momento che 2*sin x è la lunghezza della corda PP' sottesa dall'arco di estremi P e P' (la cui lunghezza è 2x), si ha che per x->0 la lunghezza della corda è un infinitesimo dello stesso ordine della lunghezza dell'arco. Diversamente, 1-cos x è la lunghezza della "freccia" QA dell'arco di estremi P e P' e per quanto precede, è un infinitesimo di ordine superiore a x (per x->0). In parole povere, mentre la lunghezza della corda tende a zero con la stessa rapidità con cui si annulla la lunghezza dell'arco, la lunghezza della freccia va a zero più rapidamente.

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