[¯|¯] Esempio di infinitesimo di ordine infinitamente piccolo

venerdì, Febbraio 24th, 2017

infinitesimi non dotati di ordine,infinitesimi di ordine infinitamente grandi,infinitesimi di ordine infinitamente piccolo

Fig. 1.


Sia data la funzione

infinitesimi non dotati di ordine,infinitesimi di ordine infinitamente grandi,infinitesimi di ordine infinitamente piccolo

Calcoliamo
infinitesimi non dotati di ordine,infinitesimi di ordine infinitamente grandi,infinitesimi di ordine infinitamente piccolo

cosicché f è un infinitesimo in x=0. Per determinare l'eventuale ordine assumiamo come infinitesimo di riferimento la seguente funzione:

infinitesimi non dotati di ordine,infinitesimi di ordine infinitamente grandi,infinitesimi di ordine infinitamente piccolo

Quindi
infinitesimi non dotati di ordine,infinitesimi di ordine infinitamente grandi,infinitesimi di ordine infinitamente piccolo

Dal momento che la funzione è pari, limitiamoci a calcolare il limite destro:
infinitesimi non dotati di ordine,infinitesimi di ordine infinitamente grandi,infinitesimi di ordine infinitamente piccolo

(altro…)




[¯|¯] Infinitesimi non dotati di ordine. Infinitesimi di ordine infinitamente grandi. Infinitesimi di ordine infinitamente piccolo

venerdì, Febbraio 24th, 2017

infinitesimi non dotati di ordine,infinitesimi di ordine infinitamente grandi,infinitesimi di ordine infinitamente piccolo

Fig. 1.


In questa Lezione abbiamo introdotto la nozione di infinitesimo [infinito] dotato di ordine. Osserviamo ora che non tutti gli infinitesimi [infiniti] sono dotati di ordine. Ad esempio nel caso degli infinitesimi, assegnata la classe I(x0) degli infinitesimi in x0 e non definitivamente nulli intorno a tale punto, e l'infinitesimo di riferimento:

infinitesimi non dotati di ordine,infinitesimi di ordine infinitamente grandi,infinitesimi di ordine infinitamente piccolo

può accadere

infinitesimi non dotati di ordine,infinitesimi di ordine infinitamente grandi,infinitesimi di ordine infinitamente piccolo

In tale circostanza diremo che f(x) è un infinitesimo di ordine infinitamente grande (rispetto a u(x)). Si badi che f(x) e u(x)α} sono comunque confrontabili. Pertanto, la confrontabilità è una condizione necessaria ma non sufficiente per l'esistenza dell'ordine di infinitesimo. Se invece:
infinitesimi non dotati di ordine,infinitesimi di ordine infinitamente grandi,infinitesimi di ordine infinitamente piccolo

diremo che f(x) è un infinitesimo di ordine infinitamente piccolo (rispetto a u(x)).
Esempio 1
Assegnata la funzione
infinitesimi non dotati di ordine,infinitesimi di ordine infinitamente grandi,infinitesimi di ordine infinitamente piccolo

si ha

infinitesimi non dotati di ordine,infinitesimi di ordine infinitamente grandi,infinitesimi di ordine infinitamente piccolo

essendo I(+oo) la classe degli infinitesimi per x->+oo, non identicamente nulli intorno a x=+oo. Assumiamo come infinitesimo di riferimento la funzione:

infinitesimi non dotati di ordine,infinitesimi di ordine infinitamente grandi,infinitesimi di ordine infinitamente piccolo

per cui calcoliamo
infinitesimi non dotati di ordine,infinitesimi di ordine infinitamente grandi,infinitesimi di ordine infinitamente piccolo

Applicando ripetutamente la regola di De L'Hospital:

infinitesimi non dotati di ordine,infinitesimi di ordine infinitamente grandi,infinitesimi di ordine infinitamente piccolo

per cui e-x è (per x->+oo) un infinitesimo di ordine infinitamente grande.
(altro…)