» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Esempio di infinito di ordine non inferiore [superiore] rispetto ad un altro infinito

giovedì, Febbraio 23rd, 2017

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Esempio 1
Siano dati gli infiniti

Il rapporto è non regolare

Passando ai valori assoluti di singolo infinitesimo, constatiamo che nemmeno ora il rapporto è regolare, giacché:

Tuttavia:

Ne consegue che f(x)=(x*sin(1/x))^-1 è (in x=0) un infinito di ordine non inferiore a g(x)=x^-1. In fig. 1 riportiamo i grafici di tali funzioni in un intorno di x=0.
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[¯|¯] Infiniti confrontabili. Il concetto di ordine

mercoledì, Febbraio 22nd, 2017

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Se x₀ è un qualunque punto di accumulazione per X, resta definito l'insieme

che si identifica con la classe degli infiniti in x₀.

Ciò premesso, comunque prendiamo due infiniti della predetta classe il confronto tra f e g si realizza calcolando il limite del rapporto f/g:

Si presentano i seguenti casi:

1. Il rapporto è un infinitesimo:
   
   Significa che |g(x)| tende a +oo più rapidamente di |f(x)|. Diremo allora che f(x) è un infinito di ordine inferiore a g(x)..
2. Il rapporto è un infinito:
   
   Significa che |f(x)| tende +oo più rapidamente di |g(x)|. Diremo allora che f(x) è un infinito di ordine superiore a g(x).
3. Il rapporto converge a un limite non nullo:
   
   Significa che |f(x)| e |g(x)| tendono a +8 con la medesima rapidità. Diremo allora che f(x) e g(x) sono infiniti dello stesso ordine.
4. Il rapporto è non regolare
   
   Esempio 1
   Siano
   
   infinitesimi della classe J(0). Abbiamo
   
   e tale limite non esiste.
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