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[¯|¯] Esempio di infinito di ordine non inferiore [superiore] rispetto ad un altro infinito

giovedì, Febbraio 23rd, 2017

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Fig. 1. Grafico delle funzioni f(x)=1/(xsin(1/x)) e g(x)=1/x entrambe infinite per x->0. Il rapporto |f(x)|/|g(x)| non è limitato superiormente, per cui f(x) è di ordine non inferiore a g(x).


Esempio 1
Siano dati gli infiniti

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Il rapporto è non regolare

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Passando ai valori assoluti di singolo infinitesimo, constatiamo che nemmeno ora il rapporto è regolare, giacché:
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Tuttavia:

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Ne consegue che f(x)=(x*sin(1/x))-1 è (in x=0) un infinito di ordine non inferiore a g(x)=x-1. In fig. 1 riportiamo i grafici di tali funzioni in un intorn read more




[¯|¯] Infiniti confrontabili. Il concetto di ordine

mercoledì, Febbraio 22nd, 2017

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Se x0 è un qualunque punto di accumulazione per X, resta definito l'insieme
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che si identifica con la classe degli infiniti in x0.

Ciò premesso, comunque prendiamo due infiniti della predetta classe il confronto tra f e g si realizza calcolando il limite del rapporto f/g:

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Si presentano i seguenti casi:

  1. Il rapporto è un infinitesimo:
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    Significa che |g(x)| tende a +oo più rapidamente di |f(x)|. Diremo allora che f(x) è un infinito di ordine inferiore a g(x)..
  2. Il rapporto è un infinito:
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    Significa che |f(x)| tende +oo più rapidamente di |g(x)|. Diremo allora che f(x) è un infinito di ordine superiore a g(x).
  3. Il rapporto converge a un limite non nullo:
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    Significa che |f(x)| e |g(x)| tendono a +8 con la medesima rapidità. Diremo allora che f(x) e g(x) sono infiniti dello stesso ordine.
  4. Il rapporto è non regolare
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    Esempio 1
    Siano
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    infinitesimi della classe J(0). Abbiamo

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    e tale limit read more




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