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[¯|¯] Il problema della cerbottana

venerdì, Gennaio 4th, 2019

cerbottana,moto di proiettili,caduta libera,gravità
Fig. 1.


Esercizio
Una cerbottana è puntata verso un bersaglio B, che nell'istante in cui viene sparato il proiettile, è lasciato in caduta libera (fig. 1).
Mostrare che il proiettile colpisce il bersaglio, qualunque sia la sua posizione iniziale, a patto che la cerbottana sia orientata verso B e che il proiettile venga sparato siimultaneamente alla caduta libera di B.
Trascurare la resistenza dell'aria).


Soluzione

Osserviamo innanzitutto che il moto del proiettile e il moto del bersaglio sono entrambi regolati dalla stessa equazione differenziale:

dove r è il vettore posizione di singolo punto materiale, mentre g è l'accelerazione di gravità.
Istituendo un sistema di assi coordinati come in fig. 1, si ha che in generale è r=xi+yj, g=-gj , essendo i e j i versori degli assi coordinati. Ciò che cambia sono le condizioni iniziali dei corpi in movimento. Più precisamente, risultano impostanti i seguenti problemi di Cauchy:

La cerbottana è orientata verso B se e solo se i vettori v0 e r0B sono paralleli e concordi:

o ciò che è lo stesso, le coordinate polari del bersaglio nell'istante iniziale τ, sono r0Bs e l'angolo di lancio θ. Risolvendo i predetti problemi di Cauchy, si trova:




[¯|¯] Relatività Generale, ovvero la geometrizzazione della gravità

sabato, Novembre 17th, 2018

relatività generale, gravità,geometria,spazio tempo

Per Einstein l'introduzione ad hoc del tensore energia-impulso della materia nelle equazioni di campo della Relatività Generale, rappresentava una limitazione della teoria, nel senso che deve esserci una qualche teoria più generale che evita la scrittura fenomenologica del predetto tensore. Da qui la metafora del marmo pregiato (primo membro dell'equazione, ovvero la geometria dello spaziotempo) e del legno rozzo (materia). Sta di fatto che tali equazioni rimangono comunque potenti, essendo in grado di tirare fuori il campo gravitazionale di un buco nero, o i noti modelli cosmologici di Friedmann (e altri).
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