[¯|¯] Grafico di una relazione
mercoledì, Giugno 27th, 2018Sia S un insieme non vuoto e ρ una relazione in S:
Definizione
Dicesi grafico della relazione ρ il seguente sottoinsieme del prodotto cartesiano S×S:
Definizione
Dicesi diagonale del prodotto cartesiano S×S, il sottoinsieme:
Definizione
Dicesi simmetrico rispetto alla diagonale di un elemento (x,y) del prodotto cartesiano S×S, l'elemento (y,x).
Proposizione
Un elemento (x,y) del prodotto cartesiano S×S coincide con il proprio simmetrico, se e solo se appartiene alla diagonale di S×S.
Dimostrazione.
Discende direttamente dalla definizione di simmetrico.
Definizione
Assegnato un sottoinsieme T di S×S, dicesi simmetrico di T rispetto alla diagonale di S×S, l'insieme:
cioè l'insieme i cui elementi sono i simmetrici rispetto a Δ degli elementi di T.
Definizione
Un sottoinsieme T di S×S è simmetrico rispetto alla diagonale di S×S se T=T-1.
Consideriamo, ad esempio, il prodotto cartesiano R×R=R² quale insieme di punti di un piano α dello spazio ordinario. Introducendo in α un riferimento cartesiano ortogonale Rα(Oxy), si ha
Cioè la diagonale di R×R è la bisettrice del primo e terzo quadrante. Sia
il cui simmetrico rispetto a Δ è:
come illustrato in fig. 1.