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Studio di un integrale generalizzato

venerdì, Novembre 13th, 2020

integrali generalizzati,funzioni integrabili,funzioni sommabili


Sia f(x)=0 una funzione continua in [a,b], derivabile due volte in (a,b) con derivate continue. Se ξ è un punto interno di [a,b] ed è uno zero di f(x), necessariamente è un punto di minimo relativo, con f''(ξ) ≥ 0 (derivata seconda non negativa). Preso ad arbitrio un punto x0 interno ad [a,b], ci proponiamo di studiare il comportamento del seguente integrale generalizzato


il cui estremo superiore di integrazione è un'evidente punto di discontinuità di seconda specie per la funzione integranda. Quest'ultima è comunque integrabile in [x0,xi;] giacché ha ivi segno costante. Per essere più specifici:

Per discutere la sommabilità applichiamo un noto criterio, che consiste nel determinare l'eventuale ordine di infinito dell'integrando nel predetto punto di discontinuità. Si tratta di studiare la seguente operazione di passaggio al limite:


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[¯|¯] Alcune osservazioni sulle funzioni sommabili

sabato, Marzo 2nd, 2019

funzioni sommabili,criteri di sommabilità,teorema,condizioni sufficienti ma non necessarie
Fig. 1.


Abbiamo stabilito l'esistenza di una classe di funzioni continue in (-oo,+oo) ed ivi sommabili, pur non annullandosi all'infinito. La più generale funzione della predetta classe è:


ove b > 0, mentre η(x) se non è una costante è divergente all'infinito. invece, la funzione χ(x) è periodica. Ad esempio:

Per quanto stabilito:


Ciò è una conseguenza del fatto che i criteri di sommabilità esprimono condizioni sufficienti ma non necessarie. Nel caso particolare della sommabilità in un intervallo illimitato, si ha, ad esempio:


Ciò premesso, dimostriamo il teorema:

Teorema


Dim.

Per fissare le idee, supponiamo X=(a,+oo). Procediamo per assurdo, negando la tesi:


dove

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