[¯|¯] Punti di discontinuità di una funzione reale di una variabile reale

martedì, Gennaio 6th, 2015

Studiare il comportamento della funzione f(x)=1-x*sin(1/x) in un intorno del punto x=0.

Svolgimento
La funzione è definita in tutto il campo reale eccetto il punto x=0. Quindi scriviamo X=R-{0}, avendo indicato con X l'insieme di definizione (o campo di esistenza
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[¯|¯] Funzioni reali di una variabile reale (Lezione n. 1 di Analisi Matematica 1)

venerdì, Settembre 12th, 2014

funzione reale di una variabile reale, applicazione,funzione vuota — **Fig. 1**

Siano X e Y due insiemi non vuoti.
Definizione
Un'applicazione di X in Y è una legge che ad ogni elemento x appartenente ad X associa univocamente un elemento y dll'insieme Y.
Indicando con f tale applicazione, scriviamo:

e diremo che f è una funzione definita in X e a valori in Y. Al posto della relazione precedente si usa spesso la notazione simbolica:

Per quanto detto, a un generico x di X corrisponde univocamente un elemento y di Y. Per esprimere ciò, scriviamo:

dove f(x) è il valore assunto dalla funzione f in x.
Dalla univocità della predetta corrispondenza

In altri termini, a un assegnato x₁ di X, non possono corrispondere più valori di y di Y. Una funzione definita in questo modo, si dice a un sol valore o monodroma. Di contro, si possono definire funzioni a più valori o polidrome. In questi appunti, consideriamo esclusivamente funzioni a un sol valore.

***
Per quanto visto, una funzione f:X->Y è un'applicazione di X in Y. Resta poi definito il seguente sottoinsieme di Y: