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Primo teorema di Lyapunov (Gantmacher vs Fasano-Marmi)

martedì, Novembre 24th, 2020

lezioni di meccanica analitica,Lyapunov,gantmacher,fasano-marmi


Alcune perplessità su un teorema di Meccanica analitica, riguardante la stabilità del moto. Più specificatamente, il problema riguarda l'invertibilità del teorema di Lagrange che noi abbiamo impostato sulla falsariga del procedimento utilizzato dal Fasano-Marmi nella dinamica monodimensionale.



In sostanza, il predetto teorema fornisce una condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché un punto ξ0 sia una posizione di equilibrio stabile. Precisamente, se ξ0 è punto di minimo relativo proprio per la funzione "energia potenziale" V(x) (quindi stiamo parlando di un sistema conservativo), allora tale punto è una posizione di equilibrio stabile. Tuttavia, non è vero il viceversa, e il Fasano-Marmi propone un suggestivo ed efficace controesempio, in cui V(x) è di classe C^oo ma non è analitica. In questo esempio specifico, l'origine x=0 non è punto di minimo relativo, e tuttavia è una posizione di equilibrio stabile (per rendersene conto basta applicare la definizione secondo Lyapunov)



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Di contro, sull'ottimo testo di Felix Gantmacher viene enunciato e dimostrato il Primo teorema di Lagrange come illustrato in fig. 1, che sembra contraddire il Fasano-Marmi.
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Posizioni di equilibrio (meccanica analitica)

giovedì, Novembre 12th, 2020

posizioni di equilibrio,meccanica analitica, fasano-marmi,moto unidimensionale


Ricordiamo che x0=x(t0) è la posizione iniziale della particella. Precisamente, avevamo impostato il problema di Cauchy


Dal momento che

si ha

dove F(x)=-V'(x) è la forza agente sulla particella. Supponiamo che la posizione iniziale x0 sia uno zero di f(x) i.e. f(x0)=0. Quindi l'integrale generalizzato

Se si annulla anche la derivata prima:

cioè è nulla anche la forza. Ne segue che x(t)=x0 è l'unica soluzione del predetto problema di Cauchy. Ciò discende da una nota proprietà delle equazioni differenziali a variabili separabili. Infatti, l'equazione differenziale in istudio equivale a quest'altra


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