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Curve integrali di un campo vettoriale

domenica, Novembre 15th, 2020

curve integrali di un campo vettoriale,equazioni differenziali


Il sistema di equazioni differenziali (scritto in precedenza è un caso particolare di:

dove X(t,x,y) e Y(t,x,y) sono funzioni reali assegnate definite in un aperto A di R³, ivi continue e lipchitziane nelle variabili x,y. Il sistema può essere scritto a sua volta scritto in forma vettoriale:


essendo


Definizione
Se x(t) è un integrale del sistema, la curva di rappresentazione parametrica

si dice
curva integrale del campo vettoriale V(t,x). Cioè

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Il problema delle condizioni iniziali nel Pendolo semplice

venerdì, Giugno 12th, 2020

pendolo semplice,equazioni differenziali,condizioni iniziali

Naturalmente, possiamo integrare l'equazione differenziale del moto del pendolo semplice con una condizione iniziale che prevede una velocità iniziale non nulla. Ad esempio

che nel sistema di ascisse curvilinee assegnato, ci dice che il pendolo non è inizialmente lasciato libero, ma "spinto" verso l'alto (lungo la traiettoria). Superato un certo valore, il pendolo sembra allontanarsi definitivamente dal punto iniziale, come può essere visto integrando numericamente l'equazione differenziale. Più precisamente, assegnato un pendolo di lunghezza unitaria (l=1m), con condizioni iniziali:


otteniamo il diagramma orario riportato in figura:


nvestighiamo su questo comportamento, plottando la velocità scalare in funzione del tempo nel grafico di figura:


da cui vediamo che è sempre positiva. Ciò implica l'assenza di istanti di arresto con inversione del moto. In realtà, l'equazione differenziale del moto non tiene conto dell'effettiva configurazione del vincolo (il punto materiale non può percorrere l'intera circonferenza), per cui superato un certo valore della velocità iniziale, il punto riesce a percorrere l'intera circonferenza un numero infinito di volte (per t→+∞).

È interessante studiare il comportamento del sistema nel cosiddetto piano delle fasi, ovvero un piano cartesiano dove in ascisse riportiamo la grandezza s e in ordinate la derivata prima, i.e. la velocità scalare. Otteniamo il grafico (traiettoria di fase) riportato in fig.


Infine, facendo variare parametricamente la velocità scalare iniziale, otteniamo la famiglia di traiettorie di fase riportate in fig.

Indice delle lezioni/esercizi



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