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[¯|¯] Differenziabilità di una funzione vettoriale di variabile vettoriale (parte 2)

lunedì, Febbraio 10th, 2020

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A questo punto ci chiediamo: "cos'è Λ(u)?" Per quanto precede, tale funzione vettoriale lineare (della variabile u) è la derivata della funzione vettoriale f(x) secondo la direzione u, calcolata in x0:


Si noti che Λ(u) dipende anche da x0, che tuttavia si comporta alla stregua di un parametro, giacché noi fissiamo tale punto per poi calcolare la derivata secondo la predetta direzione. Se ques'ultima è definita da uno dei vettori di base, per quanto già stabilito:


(altro…)




[¯|¯] Differenziabilità di una funzione vettoriale di variabile vettoriale (parte prima)

lunedì, Febbraio 10th, 2020

funzione vettoriale,differenziabilità

In un numero precedente abbiamo visto che il differenziale di una funzione vettoriale


è il vettore le cui componenti sono i differenziali totali delle componenti di f:

Ci proponiamo di stabilire la definizione di differenziabilità di una funzione vettoriale, per poi enunciare criteri sufficienti affinché una funzione sia differenziabile. Ricordiamo brevemente che nel caso di una funzione scalare di n variabili scalari, esistenza e continuità delle derivate parziali del primo ordine, costituiscono un criterio sufficiente di differenziabilità. Nel caso di una funzione vettoriale prima di dare la definizione di differenziabilità, scriviamo l'incremento della funzione nella seguente forma:


dove x0 è un elemento di V preso ad arbitrio, mentre


svolge il ruolo di incremento della variabile indipendente. Ciò premesso, sussiste la seguente definizione:

Definizione
Una funzione vettoriale


si dice
differenziabile in x0, se esiste una funzione vettoriale lineare Λ(v) tale che

dove ω(v) è, per |v|->0, un infinitesimo di ordine superiore a |v|:

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