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[¯|¯] Dato un sottoinsieme del prodotto cartesiano di due insiemi, determinare la corrispondenza tra gli insiemi

martedì, Luglio 3rd, 2018

insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano

Fig. 1

Esercizio
Assegnati gli insiemi S={1,2,3} e S'={4,5,6,7}, determinare la corrispondenza da S verso S', il cui grafico è il seguente sottoinsieme di S×S':

insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano

rappresentato in fig. 1.

Soluzione
Per la proposizione dimostrata in questa lezione, F è il grafico della corrispondenza

insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano
data da
insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano
essendo π1 e π2 rispettivamente prima e seconda proiezione del prodotto cartesiano S×S':

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Per x=1
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Per x=2

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Per x=3
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Ne concludiamo che il sottoinsieme assegnato è il grafico della seguente corrispondenza da {1,2,3} verso read more




[¯|¯] Relazioni in un insieme. Proprietà riflessiva, proprietà simmetrica, transitiva, antisimmetrica

giovedì, Giugno 21st, 2018

relazioni in un insieme,corrispondenza,relazione inversa

In una lezione precedente abbiamo introdotto la nozione di corrispondenza tra insiemi. Oggi parleremo di relazione tra gli elementi di un assegnato insieme.

Definizione
Comunque prendiamo un insieme non vuoto S, dicesi relazione una qualunque corrispondenza di S su sé stesso, i.e. una corrispondenza da S verso S:

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Posto
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scriviamo

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che si legge "x è in relazione con x'".

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Per quanto precede, l'assegnare una relazione ρ in S, determina univocamente la corrispondenza inversa

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ove

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Definizione
Chiamiamo ρ-1 relazione inversa

Proposizione
Comunque prendiamo x,x' quali elementi di S, x è in relazione con x' se e solo se x' è in relazione inversa con x.

Dimostrazione

relazioni in un insieme,corrispondenza,relazione inversa

Esaminiamo ora alcune proprietà che possono essere verificate da una relazione assegnata.

  1. Proprietà riflessiva
    Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà riflessiva se
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  2. Proprietà simmetrica
    Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà simmetrica se
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  3. Proprietà antisimmetrica
    Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà antisimmetrica se
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  4. Proprietà transitiva
    Una relazione ρ:S->P(S) verifica la proprietà transitiva se
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