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[¯|¯] Grafico di una corrispondenza

domenica, Giugno 17th, 2018

corrispondenza tra insiemi,grafico,prima proiezione,seconda proiezione

Definizione
Comunque prendiamo gli +/0+/ A e B, sono univocamente determinate le seguenti +/1+/:

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che si chiamano rispettivamente
prima proiezione e seconda proiezione associate al +/2+/ A×B. Evidentemente:

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Proposizione
Le proiezioni π1 e π2 sono +/3+/.

Dimostrazione
Le immagini di A×B mediante le singole proiezioni sono rispettivamente

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onde l'asserto.

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Ciò premesso, sussiste la seguente definizione
Definizione
Dicesi grafico di una corrispondenza da S verso S'

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l'insieme
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Cioè il grafico di una corrispondenza da S verso S', è un particolare sottoinsieme di S×S'. Ci si può chiedere se sia vero il viceversa. La risposta è affermativa ed è fornita dalla seguente proposizione:
Proposizione
Un qualunque sottoinsieme F (non vuoto) di S×S', è il grafico di una corrispondenza da S verso S'

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data da

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Dimostrazione
Per definizione di controimmagine:

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Definiamo
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Segue

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o ciò che è lo stesso

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È quindi definita la corrispondenza
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onde l'asserto.


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[¯|¯] Corrispondenza univoca. Corrispondenza inversa di una assegnata corrispondenza

martedì, Giugno 5th, 2018

corrispondenza tra insiemi,corrispondenza univoca, corrispondenza inversa

Denotiamo con S ed S' due insiemi non vuoti.

Definizione
Una corrispondenza φ da S verso S' si dice univoca se

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cioè se φ associa ad ogni elemento x di S, un sottoinsieme di S costituito da un solo elemento.

Comunque prendiamo una corrispondenza univoca φ:

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è univocamente determinata l'applicazione
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Osservazione
La determinazione univoca dell'applicazione ψ a partire da un'assegnata corrispondenza φ, implica che è possibile identificare la predetta corrispondenza con l'applicazione ψ, giacché sussiste anche il contrario, e cioè comunque prendiamo un'applicazione

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è univocamente determinata la corrispondenza univoca:
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Ciò premesso, assegnata una corrispondenza φ di S verso S'
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consideriamo il seguente sottoinsieme di S:

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In altri termini, preso ad arbitrio un elemento x' di S', possiamo considerare il sottoinsieme di S read more




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