» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Grafico di una corrispondenza

domenica, Giugno 17th, 2018

Definizione
Comunque prendiamo gli insiemi A e B, sono univocamente determinate le seguenti applicazioni:

che si chiamano rispettivamente prima proiezione e seconda proiezione associate al prodotto cartesiano A×B. Evidentemente:

Proposizione
Le proiezioni π1 e π2 sono applicazioni suriettive.

Dimostrazione
Le immagini di A×B mediante le singole proiezioni sono rispettivamente

onde l'asserto.

Ciò premesso, sussiste la seguente definizione
Definizione
Dicesi grafico di una corrispondenza da S verso S'

l'insieme

Cioè il grafico di una corrispondenza da S verso S', è un particolare sottoinsieme di S×S'. Ci si può chiedere se sia vero il viceversa. La risposta è affermativa ed è fornita dalla seguente proposizione:
Proposizione
Un qualunque sottoinsieme F (non vuoto) di S×S', è il grafico di una corrispondenza da S verso S'

data da

Dimostrazione
Per definizione di controimmagine:

Definiamo

Segue

o ciò che è lo stesso

È quindi definita la corrispondenza

onde l'asserto.

Sostienici

Puoi contribuire all’uscita di nuovi articoli ed e-books gratuiti che il nostro staff potrà mettere a disposizione per te e migliaia di altri lettori.

---

---

---

Posted in Algebra | No Comments »

[¯|¯] Corrispondenza univoca. Corrispondenza inversa di una assegnata corrispondenza

martedì, Giugno 5th, 2018

Denotiamo con S ed S' due insiemi non vuoti.

Definizione
Una corrispondenza φ da S verso S' si dice univoca se

cioè se φ associa ad ogni elemento x di S, un sottoinsieme di S costituito da un solo elemento.

Comunque prendiamo una corrispondenza univoca φ:

è univocamente determinata l'applicazione

Osservazione
La determinazione univoca dell'applicazione ψ a partire da un'assegnata corrispondenza φ, implica che è possibile identificare la predetta corrispondenza con l'applicazione ψ, giacché sussiste anche il contrario, e cioè comunque prendiamo un'applicazione

è univocamente determinata la corrispondenza univoca:










Ciò premesso, assegnata una corrispondenza φ di S verso S'

consideriamo il seguente sottoinsieme di S:

In altri termini, preso ad arbitrio un elemento x' di S', possiamo considerare il sottoinsieme di S i cui elementi x sono tali che φ(x) contenga x' come elemento. È naturale, allora, definire la seguente corrispondenza da S' verso S

Chiamiamo φ^-1 corrispondenza inversa della φ. Nell'esempio precedente abbiamo studiato la corrispondenza

che associa a ogni retta r del piano l'insieme dei punti di intersezione di r con una circonferenza assegnata S'. Riesce

Dal momento che φ(r) è l'insieme dei punti di intersezione di r con S', si ha che φ^-1(P) è l'insieme di tutte e sole le rette del piano che intersecano S' in sottoinsiemi φ(r) di S' contenenti il punto P come elemento. In altri termini, φ^-1(P) è l'insieme delle rette per P.

Sostienici

---

---

---

Posted in Algebra | No Comments »