[¯|¯] Alcune osservazioni sulle funzioni sommabili
sabato, Marzo 2nd, 2019Abbiamo stabilito l'esistenza di una classe di funzioni continue in (-oo,+oo) ed ivi sommabili, pur non annullandosi all'infinito. La più generale funzione della predetta classe è:
ove b > 0, mentre η(x) se non è una costante è divergente all'infinito. invece, la funzione χ(x) è periodica. Ad esempio:
Per quanto stabilito:
Ciò è una conseguenza del fatto che i criteri di sommabilità esprimono condizioni sufficienti ma non necessarie. Nel caso particolare della sommabilità in un intervallo illimitato, si ha, ad esempio:
Ciò premesso, dimostriamo il teorema:
Teorema
Dim.
Per fissare le idee, supponiamo X=(a,+oo). Procediamo per assurdo, negando la tesi:
dove
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