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[¯|¯] Campi irrotazionali. Integrazione di forme differenziali lineari

lunedì, Novembre 11th, 2019

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Fig. 1

Nell'articolo odierno apportiamo alcune correzioni di un post precedente. In particolare, ci riferiamo a una importante proprietà dei cosiddetti campi vettoriali irrotazionali, che si riferisce all'integrazione della corrispondente forma differenziale lineare. L'irrotazionalità esprime una condizione necessaria ma non sufficiente per la predetta integrazione. Come è noto, una condizione sufficiente riguarda la topologia dell'insieme di definizione delle componenti cartesiane del campo vettoriale.
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[¯|¯] Teoria del potenziale. Il caso dell'oscillatore armonico tridimensionale

domenica, Agosto 4th, 2019

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Riprendiamo la questione dell'integrabilità di una forma differenziale lineare. Nello specifico, sia dato un campo vettoriale u(x,y,z) definito in una regione D a connessione lineare semplice. In tal caso, l'irrotazionalità del campo è condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di un potenziale:


equivalente a

Notiamo una analogia con il caso unidimensionale. Precisamente, data una funzione di classe C¹ su R,


che definisce l'esistenza di (infinite) primitive della f(x). In altre parole, nel caso unidimensionale, la sola continuità della funzione garantisce l'integrabilità. Per quanto precede, quest'ultima può venir meno nel caso n-dimensionale:


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