[¯|¯] Il problema della cerbottana

venerdì, Gennaio 4th, 2019

cerbottana,moto di proiettili,caduta libera,gravità
Fig. 1.


Esercizio
Una cerbottana è puntata verso un bersaglio B, che nell'istante in cui viene sparato il proiettile, è lasciato in caduta libera (fig. 1).
Mostrare che il proiettile colpisce il bersaglio, qualunque sia la sua posizione iniziale, a patto che la cerbottana sia orientata verso B e che il proiettile venga sparato siimultaneamente alla caduta libera di B.
Trascurare la resistenza dell'aria).


Soluzione

Osserviamo innanzitutto che il moto del proiettile e il moto del bersaglio sono entrambi regolati dalla stessa equazione differenziale:

dove r è il vettore posizione di singolo punto materiale, mentre g è l'accelerazione di gravità.
Istituendo un sistema di assi coordinati come in fig. 1, si ha che in generale è r=xi+yj, g=-gj , essendo i e j i versori degli assi coordinati. Ciò che cambia sono le condizioni iniziali dei corpi in movimento. Più precisamente, risultano impostanti i seguenti problemi di Cauchy:

La cerbottana è orientata verso B se e solo se i vettori v0 e r0B sono paralleli e concordi:

o ciò che è lo stesso, le coordinate polari del bersaglio nell'istante iniziale τ, sono r0Bs e l'angolo di lancio θ. Risolvendo i predetti problemi di Cauchy, si trova:




[¯|¯] Esercizio di cinematica su due palline in caduta libera

lunedì, Maggio 21st, 2018

cinematica,caduta libera,palline


Esercizio

La pallina A viene lasciata cadere con velocità iniziale nulla. Dopo un tempo τ viene lasciata cadere dallo stesso punto e lungo la stessa verticale, la pallina B.

  1. Graficare la funzione dτ(t) che esprime la distanza tra A e B in funzione del tempo t, per un assegnato valore di τ Discutere l'andamento al variare di t.
  2. Stesso quesito per la funzione vA(t)/vB(t), dove vk(t) con k=A,B, è la velocità scalare di singola pallina.

(Trascurare la resistenza dell'aria)


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