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Archive for the ‘topologia’ Category

[¯|¯] Il problema dei quattro colori

martedì, Febbraio 12th, 2019

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È un libro!

Teorema dei quattro colori
Sono sufficienti quattro colori per colorare ogni mappa su un piano e su una sfera in modo che ogni coppia di regioni confinanti abbia due colori diversi.

Per confinanti si intendono quelle regioni aventi in comune un arco di curva appartenente alla propria frontiera. Cerchiamo di formalizzare il problema, assegnando ad arbitrio un dominio D limitato e misurabile di R². Eseguiamo, quindi, una decomposizione di D:


Definizione
I domini Dk e Dk' si dicono confinanti se


è un arco di curva. Viceversa, se γk,k' è al più infinito numerabile, i predetti domini si dicono
non- confinanti

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[¯|¯] La definizione di spazio metrico

mercoledì, Settembre 19th, 2018

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Si definisce spazio metrico un insieme X sul quale è definita una funzione

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denominata distanza o metrica, che gode delle seguenti proprietà:

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La metrica più nota è quella definita su uno spazio vettoriale normato, ossia uno spazio vettoriale dotato di norma ||.||, mediante la formula:

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Se lo spazio vettoriale è Rn e || || è la norma euclidea, la precedente formula diventa:

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e ci fornisce la distanza euclidea tra due punti x e y di Rn ovvero la lunghezza del segmento che li unisce. Questa è indubbiamente la distanza più comune, quella nota a tutti, anche ai non matematici. Ma in matematica esistono infinite metriche, alcune delle quali apparentemente “strambe”. Vediamone qualcuna.
Consideriamo un insieme arbitrario X e poniamo:

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con x,y appartenenti a X. Tale funzione prende il nome di metrica discreta e, anche se può sembrare assurdo (ogni elemento di X dista 1 da tutti gli altri), è effettivamente una distanza. Per dimostrarlo basta dimostrare che d(x, y) soddisfa tutte e quattro le proprietà che definiscono una metrica. Le prime tre si verificano immediatamente; per provare che vale anche la disuguaglianza triangolare, basta considerare i casi possibili:

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