Cono di secondo grado (Second degree cone)

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Cono di secondo grado (Second degree cone)

venerdì, Gennaio 8th, 2021

superfici,funzioni di due variabili,curve di livello — **Fig. 1**

Esercizio

1) Determinare l'insieme di definizione della funzione reale scritta in fig. 1.
2) Quale superficie rappresenta il grafico di f?
3) Quali sono le curve di livello?

Soluzione
Quesito 1
La funzione è manifestamente definita in

Quesito 2
La superficie z=f(xy) è un cono di secondo grado di vertice l'origine delle coordinate (fig. 1).
Quesito 3
Le curve di livello sono

cioè iperboli:

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Esercizio 5. Retta tangente a una curva piana data in forma implicita

sabato, Gennaio 2nd, 2021

curva,retta tangente,forma implicita — **Fig. 1**

Esercizio

Assegnata la curva

1) Scrivere l'equazione della tangente in P(2,0)
2) Classificare gli eventuali punti singolari.

Soluzione
Poniamo

L'equazione della retta tangente è

Calcoliamo le derivate parziali:

Segue

Quindi l'equazione richiesta:

Per il quesito 2 dobbiamo risolvere il sistema:

Si noti che la funzione F(x,y) non è definita sull'asse y, mentre le derivate parziali rispetto alle variabili x e y, sono ivi definite con esclusione dell'origine (0,0). Ne segue che dobbiamo escludere dalle eventuali soluzioni i punti dell'asse y. Risolvendo con Mathematica otteniamo i seguenti punti singolari:

Per classificarli dobbiamo valutare

dove

A tale scopo determiniamo le derivate parziali seconde:

Segue

per cui i predetti punti sono nodi (punti doppi). Sfortunatamente non è possibile tracciare la curva via software. Ne possiamo avere un'idea da come il grafico z=F(x,y) interseca il piano z=0 (fig. 1).
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