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Archive for the ‘Analisi Matematica II’ Category

[¯|¯] Il Teorema della divergenza nello spazio euclideo 3-dim.

lunedì, Luglio 22nd, 2019

teorema della divergenza,flusso di un campo vettoriale
Fig. 1

I risultati precedenti si generalizzano immediatamente al caso tridimensionale ovvero allo spazio euclideo R³. Più specificatamente, si scrivono le formule di Green nello spazio per poi formulare il teorema della divergenza.
Definizione

A un campo vettoriale F(x,y,z) possiamo associare il seguente campo scalare:


che si dice
divergenza di F.

Teorema della divergenza

Assegnato un campo vettoriale F(x,y,z) sufficientemente regolare in un dominio D di R³, comunque prendiamo A contenuto in D, si ha:


Per "sufficientemente regolare" intendiamo quanto segue: le componenti cartesiane di F sono funzioni continue in D e ivi dotate di derivate parziali continue.

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[¯|¯] Teorema della divergenza nel piano

domenica, Luglio 21st, 2019

teorema della divergenza nel piano

Abbiamo visto che per un assegnato dominio regolare D di R2, l verso positivo della frontiera di D è quello percorso da un osservatore che si muove lungo la curva generalmente regolare


lasciando alla sua sinistra l'interno di D. Tale verso positivo induce a sua volta, un orientamento positivo della retta tangente τ alla predetta curva in un suo punto regolare. La retta tangente individua poi la retta normale alla frontiera di D, che può essere orientata in modo che la coppia di assi τn sia congruente alla coppia di assi coordinati xy, cioè in modo da aversi


Dalla seguente figura:


vediamo che


Tali relazioni ci consentono di esprimere i coseni direttori dell'asse n attraverso i coseni direttori dell'asse τ:

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