Spazi di Hilbert. Prodotto hermitiano e metrica

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Spazi di Hilbert. Prodotto hermitiano e metrica

mercoledì, Marzo 10th, 2021

Sia H uno spazio di Hilbert.
Definizione
Comunque prendiamo f,g appartenenti ad H, chiamiamo distanza tra f e g, il numero reale:

Tale definizione è ben posta in quanto sono soddisfatti gli assiomi che conferiscono alla funzione ρ(f,g) la natura di distanza. Infatti, rammentando le proprietà della norma si ha:

Ne segue che il prodotto hermitiano induce una metrica in H

In altri termini, un qualunque spazio di Hilbert è uno spazio metrico. Ricordiamo incidentalmente, che in topologia una metrica può essere introdotta indipendentemente da un prodotto hermitiano. Di contro, negli spazi di Hilbert la metrica è indotta dal prodotto hermitiano. Alla stessa maniera, in uno spazio euclideo è il prodotto scalare che determina la metrica.
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Armoniche sferiche. Polinomi di Legendre

giovedì, Novembre 26th, 2020

Ci si imbatte nelle armoniche sferiche in svariati ambiti come ad esempio, in Meccanica quantistica (teoria del momento angolare orbitale) o più in generale, quando si ha una grandezza dipendente solo dalle variabili angolari (θ φ) di un sistema di coordinate sferiche. In sostanza, lo sviluppo di una tale grandezza f(θ φ) in armoniche sferiche, ricorda lo sviluppo in serie di Fourier di una funzione periodica. Più rigorosamente, le armoniche sferiche costituiscono una base ortonormale dello spazio di Hilbert i cui elementi sono le funzioni di quadrato sommabile sulla sfera unitaria.
Le armoniche sferiche sono espresse attraverso le funzioni associate di Legendre che a loro volta si esprimono tramite i polinomi di Legendre.

Scarica gli appunti sulle armoniche sferiche in pdf