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Esiste questo limite?

Gennaio 13th, 2021 | by Marcello Colozzo |

limite funzione più variabili, definizione di limite
Fig. 1


Risolviamo alcuni degli esercizi proposti da Calculus and Analytic Geometry
Esercizio

Sapendo che |sin(1/x)| < = 1, cosa potete dire riguardo al seguente limite


Soluzione
Poniamo


Questa funzione è definita in

cioè su tutto il piano cartesiano xy escluso l'asse y. Ovviamente l'origine delle coordinate (0,0) non appartiene all'insieme di definizione, ma è comunque punto di accumulazione per tale insieme. Congetturiamo (in analogia al caso unidimensionale)

Applicando la definizione di limite per una funzione di due variabili

dove

Sappiamo che

Segue


da cui l'asserto. In fig. 1 riportiamo il grafico della funzione, da cui vediamo le oscillazioni che si smorzano in un intorno dell'origine.


Exercise

Does knowing that |y sin(1/x)| < =1 tell you anything about


Give reasons for your answer.

Solution
Let's say

ie on the whole Cartesian xy plane excluding the y axis. Obviously the origin of the coordinates (0,0) does not belong to the defining set, but it is still the accumulation point for this set. We conjecture (in analogy to the one-dimensional case)

ie on the whole Cartesian xy plane excluding the y axis. Obviously the origin of the coordinates (0,0) does not belong to the defining set, but it is still the accumulation point for this set. We conjecture (in analogy to the one-dimensional case)

Applying the definition of limit for a function of two variables

where

We know that

It follows

hence the assertion. In fig. 1 we report the graph of the function, from which we see the oscillations that are dampened in a neighborhood of the origin.

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