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Quando il punto di vista polare fallisce

Gennaio 12th, 2021 | by Marcello Colozzo |

limite funzione più variabili, coordinate polari
Fig. 1


Risolviamo alcuni degli esercizi proposti da Calculus and Analytic Geometry
Esercizio

Studiare il comportamento per (x,y)->(0,0) della funzione


Soluzione
Passando a coordinate polari nel piano xy


per cui la funzione sembra essere regolare in (0,0). Tuttavia se ci avviciniamo a (0,0) lungo la parabola (k è un parametro reale variabile) y=kx²


In altre parole, il valore del limite dipende dalla direzione di avvicinamento. Ne consegue la non esistenza del limite proposto. Il grafico della funzione è disegnato in fig. 1 dove è ben visibile la singolarità nell'origine.


Exercise

Study the behavior for (x, y) -> (0,0) of the function


Solution
Switching to polar coordinates in the xy plane


so the function appears to be regular in (0,0). However, if we approach (0,0) along the parabola (k is a variable real parameter) y = kx²


In other words, the limit value depends on the direction of approach. It follows that the proposed limit does not exist. The graph of the function is drawn in fig. 1 where the singularity in the origin is clearly visible.

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