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Stabilità asintotica. Bacino di attrazione

Un punto di equilibrio stabile si dice asintoticamente stabile se esiste un intorno I(ξ₀,0) tale che

Dicesi bacino di attrazione di ξ₀ il più grande intorno di (ξ₀,0) che verifica la condizione di stabilità asintotica.

Teorema
Un qualunque sistema conservativo è privo di posizioni di equilibrio asintoticamente stabili.

Dim.

Procediamo per assurdo negando la tesi:

Nell'istante iniziale t₀ l'energia meccanica del sistema è

v
Per t->+oo

D'altra parte ξ₀ è un punto di equilibrio stabile, cosicché E(ξ₀,0)=minE(x,y), onde

i.e. il sistema non è conservativo. Ma ciò è contro l'ipotesi, da cui l'asserto.

Tags: bacino di attrazione, equilibrio asintoticamente stabile, equilibrio stabile secondo lyapunov, stabilità asintotica