» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Cos'è il Tempo?

Da premettere che le idee proposte in questo post, sono alquanto "bislacche" per cui vanno prese con il beneficio del dubbio...
Newton diceva che il tempo "scorre" matematicamente e in maniera indipendente dall'osservatore. Il risultato è uno spazio fisico tridimensionale con l'aggiunta di una dimensione extra che chiamiamo "tempo" (comunque "scollegata" dalle dimensioni spaziali). Prendiamo il caso di Rogerina, il gatto (purtroppo) andato via qualche giorno fa (ma vedremo che tale asserzione è priva di senso). La foto a sinistra (fig. 1) è stata scattata a maggio 2018. La foto a destra è ovviamente la medesima, eccezion fatta per il gatto dove ho lasciato il rettangolo nero. Tale scelta non è casuale perché il gatto è morto nel punto preciso in cui si trovava due anni prima. Per Newton ciò non vuol dire niente. Semplicemente lo spazio fisico (euclideo tridimensionale) "sta per fatti suoi", mentre il tempo t ha "fatto il suo corso". Per Einstein, abbiamo un continuo spazio-temporale, in cui la dimensione tempo si "fonde" con le dimensioni spaziali, restituendo uno spazio quadridimensionale. Ma dal momento che siamo in regime nonrelativistico e in debole campo gravitazionale, sia la relatività ristretta che la relatività generale restituiscono i medesimi risultati della meccanica classica.

Cosa può dirci la Meccanica quantistica?

Il punto di partenza delle nostre argomentazioni è la ben nota relazione di indeterminazione tempo-energia, che suggerisce di assegnare un carattere operatoriale al tempo. Diversamente, nella Meccanica quantistica standard il tempo non è un osservabile (quindi non è un operatore) ma un semplice parametro reale. Quindi come nella meccanica newtoniana. Per quanto precede, ciò determina una qualche perplessità a causa della relazione di indeterminazione tempo-energia. C'è molta letteratura al riguardo, nel senso che sono stati fatti svariati tentativi in quanto definire un osservabile tempo rappresentata da un operatore autoaggiunto, conduce a delle conseguenze assurde. L'unica soluzione consiste nel rinunciare all'"autoaggiuntezza" di tale operatore.
Seguendo un'altra strada, abbiamo comunque provato a trattare il tempo alla stregua di un operatore autoaggiunto. Probabilmente è solo il frutto di un giochino matematico, ma alla fine esce fuori una funzione d'onda Ψ(x) che non dipende dal tempo, in quanto quest'ultimo è inglobato nell'espressione analatica della funzione, nel senso che compare sotto il segno di integrale, per cui sparisce a secondo membro. Ciò potrebbe avere delle ricadute ontologiche: il nostro sistema percettivo "misura" l'osservabile tempo, per cui la Ψ(x) collassa in un autostato che in realtà, è l'usuale funzione d'onda ψ(x,t), che a sua volta si può esprimere come sovrapposizione di autofunzioni di un'altra osservabile (ad es. l'energia).
Se le cose stanno davvero così, la funzione d'onda per così dire "essenziale", non è la ψ(x,t) ma la Ψ(x) in cui presente, passato e futuro coesistono in una sovrapposizione lineare.

Per i dettagli matematici scarica questo pdf.

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