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Predictive Mathematical Models of the Covid–19 pandemic in ODE/SDE framework

Ottobre 1st, 2020 | by Marcello Colozzo |

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Sommario

In quest’articolo viene proposto un modello di diffusione virale nel paradigma delle equazioni differenziali ordinarie (ODE) e delle equazioni differenziali stocastiche
(SDE). Vengono analizzati i classici modelli basati sulla mappa logistica, per poi introdurre un termine di rumore che modellizza il comportamento dei cosiddetti negazionisti. Tale modello riproduce abbastanza fedelmente la situazione italiana nel periodo odierno. Si passa quindi a un’analisi locale, giungendo a un’equazione di continuità per ciò che riguarda la densità del numero di infetti in un’assegnata regione. Dimostriamo, quindi, un Teorema secondo cui la classica logistica è la più catastrofica delle previsioni. In uno scenario realistico, è necessario tener conto delle inevitabili fluttuazioni della predetta densità. Ciò implica una frammentazione del cluster iniziale in un N subclusters disgiunti. Per N molto grande, l’analisi statistica suggerisce l’utilizzo della “funzione di correlazione a due punti” (e più in generale, “a n punti”). In linea di principio, una stima di tale funzione consente di determinare l’evoluzione della pandemia.
La distribuzione dei subclusters potrebbe essere frattale, esattamente come avviene per la distribuzione delle galassie a partire da un universo primordiale omogeneo ed isotropo, ma con fluttuazioni casuali di densità di materia. Ci`o non deve sorprendere, poichè in forza dell’invarianza in scala, i frattali hanno un basso “costo computazionale”. Resterebbe quindi corroborata l’idea secondo cui le pandemie sono processi ciclici, cioè che si presentano con una data periodicità.



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Abstract

This article proposes a viral diffusion model (like Covid-19 pandemic) in the ordinary differential equations (ODE) and stochastic differential equations (SDE) framework. The classic models based on the logistic map are analyzed, and then a noise term is introduced that models the behavior of the so-called deniers. This model fairly faithfully reproduces the Italian situation in today’s period. We then move on to local analysis, arriving at an equation of continuity for what concerns the density of the number of infected in an assigned region. We, therefore, prove a Theorem according to which classical logistics is the most catastrophic of predictions. In a realistic scenario, it is necessary to take into account the inevitable fluctuations in the aforementioned
density. This implies a fragmentation of the initial cluster (generated by “patient zero”) into an N disjoint sub clusters. For very large N, statistical analysis suggests the use of the two-point correlation function (and more generally, n-points). In principle, an estimate of this function makes it possible to determine the evolution of the
pandemic. The distribution of the sub clusters could be fractal, exactly as it happens for the distribution of galaxies starting from a homogeneous and isotropic primordial universe, but with random fluctuations in matter density. This is not surprising, since due to the invariance in scale, fractals have a low “computational cost”. The idea that pandemics are cyclical processes, that is, they occur with a given periodicity, would therefore remain corroborated.


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