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Dal piccolo guadagno al cerchio

Agosto 7th, 2020 | by Gianluca Angelone |

piccolo guadagno,diagramma di Nyquist,loop transformation
Fig. 1


Si consideri il sistema:

Per poter applicare il teorema del piccolo guadagno occorre che la nonlinearità appartenga al settore [-r2,r2]; pertanto, ponendo r2=k/2, occorre effettuare le loop trasformation di Figura 1 che permettono di passare dal settore Φ[0,k] al settore Φ[-k/2,k/2].
Sotto queste ipotesi si vede che la condizione ||H1(s)||oo·r2 < 1 si può riscrivere


che, valutata per s=jω, diventa:

con

Si è ottenuta quindi una condizione sufficiente per la stabilità assoluta individuando nel piano di Nyquist una regione cui deve appartenere il diagramma di G(jω): il soddisfacimento della (1) equivale a dire che

ovvero che la funzione

deve essere strettamente reale positiva.

Per k->oo si ha che se la funzione


è strettamente reale positiva e


allora l'origine del sistema è globalmente asintoticamente stabile.

Se si considera il sistema di partenza con φ appartenente a Φ[k1,k2] si vede che la (1) è l'equazione di una circonferenza che interseca l'asse delle ascisse del piano di Nyquist nei punti (-1/k1,j0) e (-1/k2,j0) arrivando alla formulazione classica del criterio del cerchio [1]

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