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Criterio del cerchio. Loop transformation

Agosto 6th, 2020 | by Gianluca Angelone |

criterio del cerchio,diagramma di Nyquist,loop transformation


Criterio del cerchio

Il criterio del cerchio consente di studiare la stabilità assoluta utilizzando solamente il diagramma di Nyquist di G(jω). Dato il diagramma possono essere determinati facilmente i settori ammissibili per i quali l'origine è assolutamente stabile. Si mostrerà solo il caso in cui la funzione non lineare appartiene al settore [0,+oo) in quanto è sempre possibile riportarsi a questo caso operando delle opportune trasformazioni, come descritte nel prossimo paragrafo. Si analizzerà prima il caso del settore [0,k], valutando in seguito come varia il risultato facendo tendere k ad infinito.

Loop transformation

Si vuole mostrare che è sempre possibile, tramite opportune trasformazioni, ricondursi allo studio delle nonlinearità appartenti al settore [0,+oo), potendo così limitarsi allo studio delle proprietà dei sistemi passivi.

Si consideri il sistema di Figura 1 con ΣLTI descritto dalla funzione di trasferimento G(σ) e con φ appartenente a Φ[k1,k2]. Si effettuino le trasformazioni descritte nella Figura 2 che vengono indicate come loop transformation [1].

schema di retroazione nella forma di Lur'e
Fig. 1
loop transformation
Fig. 2

Si ottiene un nuovo sistema a ciclo chiuso, rappresentato in Figura 5 che si dimostra essere equivalente allo schema di partenza.

sistema a ciclo chiuso nelle variabili trasformate.
Fig. 3. Sistema a ciclo chiuso nelle variabili trasformate.


Il sistema lineare equivalente è:


Per la funzione nonlineare si verifica facilmente che:


In termini matriciali:


Essendo chiaramente

la trasformazione è invertibile e quindi gli schemi di Figura 1 e Figura 3 sono equivalenti.

Possiamo vedere come si modifica il settore con la loop trasformation introdotta. In altri termini se


vogliamo vedere a quale settore appartiene

Basta considerare l'inversa della relazione matriciale scritta più sopra:


Se consideriamo il rapporto

in funzione di

otteniamo

da cui si evince che il settore di partenza è stato trasformato nel settore Φ[0,+oo), e la non linearità equivalente è passiva.
Si noti che la relazione precedente vale anche nel caso dei settori incrementali, cioè se

attraverso la loop transformation si avrà che φ(·) apparterrà Φ[0,+oo)(i).
Nella trasformazione di Figura 2 spesso è utile considerare, invece di k2,

in modo da ottenere

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