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Interconnessione di sistemi

Agosto 5th, 2020 | by Gianluca Angelone |

interconnessione di sistemi,mappa,teorema del piccolo guadagno
Fig. 1. Retroazione di sistemi.


Per lo studio della stabilità dei sistemi interconnessi è conveniente usare il formalismo della stabilità ingresso-uscita, nello spazio L2 delle funzioni a quadrato sommabile, ovvero ad energia finita. Si interpreta un sistema come un mappa, o operatore, y=H(u), che lega l'uscita y all'ingresso u, segnale che mappa l'intervallo [0,+oo) nello spazio Euclideo Rm. Un sistema si dice stabile L2 con guadagno finito se esistono delle costanti γ e ß tali che


per ogni u appartenente a L2. Quando il valore di γ è ben definito esso è chiamato guadagno del sistema. Se la predetta disuguaglianza è soddisfatta per ogni

la mappa H si dice stabile L2 per piccoli segnali con guadagno finito [1]

Si considerino due generici sistemi scalari H1 e H2, entrambi stabili L2 con guadagno finito, connessi in retroazione come in Figura 1, con le ipotesi:


I legami ingresso-uscita:


possono essere riscritti come una mappa T:


Si dimostra (teorema del piccolo guadagno) che se

  • il prodotto r1r2 < 1
  • la mappa ingresso-uscita soddisfa la condizione

allora


la mappa T è una contrazione ed il sistema è stabile L2.

Se consideriamo il caso particolare in cui H1 rappresenta un sistema lineare tempo invariante ed H2 un generica non linearità appartenente ad un settore, vogliamo determinare le condizioni per cui H1 e H2 soddisfano l'equazione scritta più sopra ed, in definitiva, il teorema del piccolo guadagno.
Analizziamo prima il sistema lineare e vediamo come stimare r1. Per la linearità si ha:


Per determinare r2 tale che la funzione non lineare soddisfi la predetta equazione consideriamo la definizione di norma L2:


la condizione espressa dalla suddetta equazione è equivalente alla condizione di appartenza ad un settore incrementale delimitato dalle rette y=-rσ e y=rσ.
Possiamo, in definitiva, dire che se ||H1(s)||oo·r2 < 1 il sistema a ciclo chiuso è stabile L2.

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