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Stabilità dei sistemi di controllo. Introduzione

Luglio 29th, 2020 | by Gianluca Angelone |

stabilità dei sistemi di controllo,Lur’e problem,controlli automatici
Fig. 1


Il problema della stabilità assoluta, formulato originariamente da Lur'e, e pertanto detto anche Lur'e problem, riguarda lo studio della stabilità di un sistema ottenuto dalla retroazione di un sistema dinamico lineare con uno statico non lineare. Il problema è di particolare rilevanza nella teoria dei controlli automatici in quanto un generico sistema di controllo contiene tipicamente dei componenti non lineari (nel caso più comune c'è la saturazione degli attuatori, o ci sono trasduttori con caratteristiche nonlineari al di fuori dell'intervallo di funzionamento nominale) ed è interesse del progettista evitare che eventuali non linearità possano compromettere la stabilità del sistema a ciclo chiuso. Il problema si pone, quindi, in maniera generale come analisi della stabilità rispetto ad una classe di funzioni non lineari, con determinate caratteristiche, piuttosto che lo studio riferito ad una particolare non linearità [1]. Nel seguito, per semplicità, assumeremo che φ(·) è una funzione continua, escludendo quindi i cosiddetti "salti" e le funzioni a valori in un insieme (set-valued functions).

Dato un sistema in retroazione, come riportato nella Figura 1, con


r=0, u,y elementi del campo reale R, x appartenente a Rn, (A,B) controllabile e (A,C) osservabile e la funzione φ(·), in generale, non lineare e tempo variante.
Si assume che la caratteristica appartiene, come suol dirsi, al settore [k1,k2], cioè:


La formula appena scritta, si può infatti riscrivere nella forma:


cioè φ è una qualunque nonlinearità limitata da un settore individuato dalle rette y1=k1σ e y2=k2σ.
Analogamente possiamo definire il settore incrementale:


In ogni caso si ha

Il problema della stabilità assoluta consiste nel determinare condizioni sufficienti su ΣLTI e su Φ[k1,k2] in modo che x=0 sia un punto di equilibrio globalmente asintoticamente stabile qualunque sia la


L'origine è un punto di equilibrio globalmente asintoticamente stabile se:

Una condizione sufficiente per la globale asintotica stabilità è data dal criterio di Lyapunov: se V:Rn->R è una funzione differenziabile con continuità tale che:


allora l'origine è globalmente asintoticamente stabile.

La stabilità asintotica dell'origine sarà studiata mostrando l'esistenza di opportune funzioni di Lyapunov candidate utilizzando la teoria dei sistemi passivi.

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