n blocchi legati da una fune inestensibile

Giugno 18th, 2020 | by Marcello Colozzo |

blocchi,fune inestensibile,secondo principio della dinamica — **Fig. 1**

Generalizzare l'esercizio precedente al caso di n blocchi di massa m disposti come in fig. 1. Assumere come grandezze note la massa m e la tensione T₁₂ sul blocco A₁. Le quantità da calcolare - lasciandole inespresse - sono la forza trainante F supposta costante, e l'accelerazione con cui l'intero sistema trasla. Supponendo che il carico di rottura sia T₀, determinare il massimo valore consentito per la forza trainante. Riguardo a quest'ultimo quesito, si discuta il limite per n->+oo.

Soluzione
Applicando il secondo principio della dinamica all'intero sistema, si ha:

Dal momento che conosciamo la tensione T₁₂, il predetto principio applicato al blocco A₁ restituisce:

per cui l'accelerazione è

mentre la forza trainante vale

Constatiamo che la massa di singolo blocco sembra non giocare alcun ruolo per il valore di F. In realtà, la massa m è per così dire, inglobata nella tensione T₁₂.

Analizzando le forze agenti sul blocco A₂ attraverso il secondo e il terzo principio della dinamica, si ottiene con ovvio significato dei simboli

Alla stessa maniera, ragionando sul blocco successivo:

Iterando

onde

Ne consegue

Quindi affinché il cavo non si spezzi:

per cui

D'altra parte

Perciò

Abbiamo così ottenuto il massimo valore della forza trainante in funzione del numero di blocchi:

Ed è chiaro che

Più precisamente, per n finito è F_max(n) > T₀. Al crescere progressivo del numero di blocchi, il massimo valore della forza trainante è monotonamente decrescente, per tendere asintoticamente a T₀. Approssimativamente: