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Esercizio svolto sul metodo di variazione delle costanti arbitrarie (equazioni differenziali)

Maggio 25th, 2020 | by Marcello Colozzo |

equazioni differenziali,metodo di variazione delle costanti arbitrarie,metodo di lagrange
Fig. 1


Assegnata l'equazione differenziale rappresentata in fig. 1, si determini un integrale particolare applicando il metodo di Lagrange


Soluzione
Dobbiamo innanzitutto trovare un sistema fondamentale di integrali dell'equazione omogenea


la cui equazione caratteristica

ammette una coppia di radici reali e distinte: λ1=0,λ2=2. Ne seguono gli integrali fondamentali:


Un integrale particolare della non omogenea è


con v1(x),v2(x) tali che


Il determinante della matrice dei coefficienti di tale sistema lineare è ovviamente il wronskiano dei predetti integrali fondamentali


Applichiamo la regola di Cramer

mentre l'altra incognita si ricava facilmente:


Non ci resta che eseguire una quadratura


L'integrale a secondo membro si calcola facilmente per parti:


da cui

Quindi


Passiamo all'altra funzione


Procedimento simile al precedente:

Perciò

Finalmente l'integrale particolare della non omogenea:


Ne concludiamo che l'integrale generale dell'equazione assegnata è

In fig. 1 l'andamento di alcune curve integrali della predetta equazione.




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