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Teorema del Varignon

Maggio 16th, 2020 | by Marcello Colozzo |

teorema del varignon,sistema di vettori applicasti,risultante,momento risultante


Definizione
Dicesi Sistema di vettori applicati un qualunque insieme non vuoto di vettori applicati. In simboli:


il
risultante di Σ è il risultante dei vettori u1,u2,...,un:

Definizione
Dicesi momento risultante di Σ rispetto a un polo T, il risultante dei momenti rispetto al medesimo polo dei singoli vettori di Σ.

Denotando con MT(k) il momento di (Ak,uk) rispetto a T, il predetto momento risultante è:


D'altra parte


per cui

Teorema del Varignon

Il momento risultante rispetto a un qualunque polo, di un sistema di vettori applicati in un medesimo punto A, coincide con il momento del risultante (rispetto allo stesso polo), applicato in A.

Dim.


onde l'asserto.

Comunque prendiamo un sistema Σ di vettori applicati, possiamo scrivere con ovvio significato dei simboli:


per assegnati punti T,T' presi ad arbitrio. Sottraendo membro a membro:


Cioè


o ciò che è lo stesso


Si osservi che

è il momento del vettore applicato (T',R) rispetto al polo T. Questa notevole relazione vettoriale ci consente di dimostrare la seguente
Proposizione
Il momento risultante di un sistema Σ di vettori applicati è indipendente dal polo, se e solo se il risultante di Σ è il vettore nullo.


Dim.

Se R=0 dall'equazione scritta sopra segue immediatamente


Viceversa, se


comunque prendiamo i poli T,T', procediamo per assurdo ponendo

Cioè


In tal caso il vettore non nullo R risulta parallelo a ogni vettore non nullo di R³. L'assurdo implica l'asserto.

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