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Dinamica a scala microscopica di una pandemia

Aprile 6th, 2020 | by Marcello Colozzo |

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Il dominio in cui sono confinate le particelle è

L'azione di confinamento implica una hamiltoniana di singola particella (supponendo che non sia relativistica):


dove l'energia potenziale è


Ciò equivale a ritenere le pareti del cubo perfettamente riflettenti. Dal momento che ID(t) è una variabile deterministica, ci aspettiamo un problema di Cauchy del tipo

Naturalmente siamo interessati all'espressione analitica della funzione F, in modo da risolvere il predetto problema. Mostriamo che ciò può essere fatto a patto di tener conto del comportamento microscopico. Precisamente, introduciamo una funzione densità, ovvero una funzione non negativa i(x,t) tale che


Per il teorema della media integrale


avendo denotato con < i >(t) il valor medio rispetto alle coordinate spaziali della densità i(x,t). Con tale posizione, il predetto problema di Cauchy si riscrive










In altri termini, le grandezze ID(t) e < i >(t) descrivono lo stesso processo a meno di un inessenziale fattore di scala L. D'altra parte, la rappresentazione di ID(t) attraverso una funzione densità, suggerisce di fare altrettanto per la sua derivata:


o ciò che è lo stesso:


essendo < γ >(t) il valor medio rispetto alle coordinate spaziali della densità di velocità di creazione di particelle infette. Ne consegue

che ovviamente non è un'equazione differenziale in < i >. Più precisamente, tale equazione presuppone la conoscenza della funzione a secondo membro. Per giungere a un'equazione differenziale, scriviamo la densità di velocità nella seguente forma:

giacché ci aspettiamo una dipendenza funzionale della densità di velocità di creazione di particelle infette dalla densità del numero delle medesime. Sviluppiamo in serie di Taylor in un intorno destro di i=0, la funzione f(i) e troncando tale serie a un ordine n:


dove

Osserviamo che

Per valori non troppo elevati di i, possiamo troncare la serie al secondo ordine:


Esplicitiamo il significato fisico dei coefficienti c1,c2.


Cioè c1 misura la velocità di variazione della densità di velocità γ quando i->0, mentre c2 è l'accelerazione della predetta variazione. Tali coefficienti dipendono dal modello adottato. In quest'ordine di approssimazione abbiamo


Svincoliamoci da < i² > attraverso la varianza spaziale:


onde


che sostituita nell'equazione scritta più sopra, restituisce la seguente equazione differenziale in < i >

Tale equazione è non lineare e non autonoma. Notiamo che la non autonomia è dovuta alla dipendenza temporale della varianza, nel senso che il processo in esame è nonstazionario a livello microspico. L'autonomia viene recuperata nel caso speciale di un sistema omogeneo:

Si noti che tale circostanza si verifica anche se i processi a scala microscopica sono non-stazionari. Moltiplicando primo e secondo membro dell'eq. scritta più sopra per il volume L³, otteniamo


dove ak= L³ck, che è l'equazione cercata, in cui abbiamo separato il contributo macroscopico da quello microscopico, giacché σ²(t) è una misura delle fluttuazioni di densità.
Approccio 2
Un approccio alternativo consiste nel focalizzare la propria attenzione sui processi a scala microscopica, scrivendo un'equazione differenziale alle derivate parziali per la funzione i(x,t):


con le condizioni sul bordo:

Questo approccio è molto più complicato e per ora lo lasciamo inespresso.

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