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[¯|¯] Equazioni differenziali del tipo Bernoulli

Aprile 1st, 2020 | by Marcello Colozzo |

equazione di bernoulli,equazioni differenziali
Fig. 1


Un'equazione differenziale del tipo Bernoulli ha la forma:

dove n > 0 e α(x),ß(x) sono funzioni continue assegnate. Si noti che per n=1 l'equazione è lineare, per cui escludiamo questo caso. L'equazione può comunque essere ridotta a un'equazione lineare, attraverso il cambio di variabile:


Infatti, calcolando


dopo qualche passaggio otteniamo


che è appunto lineare. Ad esempio, supponiamo di avere


Il cambio di variabile


Segue











Il fattore integrante relativo a quest'ultima equazione è


per cui

Integrando


Ripristinando la variabile y, otteniamo l'integrale generale

Osservazione
La funzione identicamente y(x)=0 nulla è un integrale dell'equazione assegnata. Tuttavia, non può essere ricavato dall'integrale generale. Ne concudiamo che è un integrale singolare.

Osserviamo infine che il problema di Cauchy:


ammette due soluzioni distinte:

graficate in fig. 1.

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