[¯|¯] Equazioni differenziali del tipo Bernoulli
Aprile 1st, 2020 | by Marcello Colozzo |Un'equazione differenziale del tipo Bernoulli ha la forma:
dove n > 0 e α(x),ß(x) sono funzioni continue assegnate. Si noti che per n=1 l'equazione è lineare, per cui escludiamo questo caso. L'equazione può comunque essere ridotta a un'equazione lineare, attraverso il cambio di variabile:
Infatti, calcolando
dopo qualche passaggio otteniamo
che è appunto lineare. Ad esempio, supponiamo di avere
Il cambio di variabile
Segue
Il fattore integrante relativo a quest'ultima equazione è
per cui
Integrando
Ripristinando la variabile y, otteniamo l'integrale generale
Osservazione
La funzione identicamente y(x)=0 nulla è un integrale dell'equazione assegnata. Tuttavia, non può essere ricavato dall'integrale generale. Ne concudiamo che è un integrale singolare.
Osserviamo infine che il problema di Cauchy:
ammette due soluzioni distinte:
graficate in fig. 1.
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