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Sottospazio vettoriale dei tensori completamente simmetrici

18 Marzo, 2020 | by Marcello Colozzo |

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Fig. 1

Assegnato uno spazio vettoriale En e preso ad arbitrio un intero naturale r, consideriamo lo spazio prodotto tensoriale


e quindi, il suo sottoinsieme

i cui elementi sono i tensori r-covarianti completamente simmetrici. Mostriamo che si tratta di un sottospazio vettoriale di En*(r). Infatti:

La chiusura di Sn*(r) rispetto alle leggi di composizione di addizione di moltiplicazione per uno scalare, implica che tale insieme è un sottospazio vettoriale di En*(r). Ovviamente siamo interessati alla dimensione di tale spazio. Intanto osserviamo che











In particolare, per r=2 e in una base assegnata si ha


È chiaro che

essendo SK(n) l'insieme delle matrici (sul campo K) simmetriche di ordine n. Come è noto, tale insieme è un sottospazio vettoriale dello spazio MK(n) delle matrici quadrate di ordine n. Ed è evidente che Sn*(r) è isomorfo a SK(n); per un noto teorema si ha che tali spazi sono isodimensionali, cosicché


È facile convincersi che


Esercizio

Mostrare che

Ne consegue


Ad esempio

Per generalizzare tali risultati a un qualunque rango r, è necessario rispolverare alcune nozioni di calcolo combinatorio, che sarà l'oggetto di un prossimo numero.

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