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[¯|¯] Tensori completamente simmetrici

Marzo 11th, 2020 | by Marcello Colozzo |

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Sia T un tensore covariante di rango r ovvero un'applicazione multilineare:

Definizione
Il tensore T si dice completamente simmetrico se la predetta applicazione è invariante rispetto a una qualunque permutazione dei suoi argomenti v1,v2,...,vr.

Tale definizione si generalizza immediatamente ai tensori controvarianti di rango qualsiasi. Inoltre, essa ha carattere intrinseco, ossia indipendente dalla base. Viceversa, il riferimento a una base restituisce la proposizione:
Proposizione
Un tensore r-covariante (o r-controvariante) è completamente simmetrico, se e solo se comunque prendiamo una base dello spazio vettoriale a cui esso appartiene, le sue componenti sono invarianti rispetto a una qualunque permutazione degli indici.

Dim.

Senza perdita di generalità, consideriamo un tensore doppio covariante:


Comunque prendiamo una base {ei} di En, è univocamente determinata la base duale {θj}


e quindi la seguente base di

cioè


cosicché











Ne consegue

ovvero

Dal momento che i,k sono indici muti (quindi possiamo chiamarli come ci pare):

Sottraendo membro a membro le equazioni scritte sopra:

Cioè

Osservazione
Per un tensore di rango 2 (covariante o controvariante) la completa simmetria è semplicemente una "simmetria", giacchè abbiamo solo 2 indici.

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